Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y=∣3x^4−4x^3−12x^2+m^2∣ có đúng 5 điểm cực trị

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Xét hàm số  \( f(x)=3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+{{m}^{2}} \)

 \( {f}'(x)=12{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}-24x  \)

\( {f}'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=0 \\ & x=-1 \\ & x=2 \\ \end{align} \right. \)

Suy ra, hàm số y = f(x) có 3 điểm cực trị.

\(\Rightarrow \) Hàm số \(y=\left| 3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+{{m}^{2}} \right|\) có 5 điểm cực trị khi đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt \(\Leftrightarrow 3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+{{m}^{2}}=0\)\(\Leftrightarrow {{m}^{2}}=-3{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}\) (1)

Xét hàm số \( g(x)=-3{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}+12{{x}^{2}} \); \( {g}'(x)=-12{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}+24x \).

Bảng biến thiên:

Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt  \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{m}^{2}}<0 \\ & 5<{{m}^{2}}<32 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \sqrt{5}<\left| m \right|<\sqrt{32} \)

Do  \( m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -5;-4;-3;3;4;5; \right\} \)