Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y=∣3x^4+4x^3−12x^2+m^2∣ có 7 điểm cực trị

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Ta có:  \( y=\left| 3{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+\frac{m}{2} \right|=\sqrt{{{\left( 3{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+\frac{m}{2} \right)}^{2}}} \)

 \( \Rightarrow {y}’=\frac{\left( 12{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}-24x \right)\left( 3{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+\frac{m}{2} \right)}{\sqrt{{{\left( 3{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+\frac{m}{2} \right)}^{2}}}} \)

\( \Rightarrow {y}’=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 12{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}-24x=0\begin{matrix}{} & {}  \\\end{matrix}(1) \\  & 3{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+\frac{m}{2}=0\begin{matrix} {} & {}  \\\end{matrix}(2) \\ \end{align} \right. \)

Từ \((1)\Rightarrow \left[ \begin{align}& x=0 \\ & x=1 \\  & x=-2 \\ \end{align} \right.\)

Do đó, để hàm số có 7 điểm cực trị thì (2) phải có 4 nghiệm phân biệt khác  \( \left\{ 0;1;-2 \right\} \).

Xét hàm số  \( f(x)=3{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+\frac{m}{2} \)

 \( \Rightarrow {f}'(x)=12{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}-24x  \) \( \Rightarrow {f}'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=0 \\ & x=1 \\  & x=-2 \\ \end{align} \right. \)

Để (2) có 4 nghiệm phân biệt thì f(x) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& -5+\frac{m}{2}<0 \\ & \frac{m}{2}>0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m <10 \\  & m > 0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow 0< m <10 \)

Vậy có 9 giá trị nguyên của tham số m để hàm số  \( y=\left| 3{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+\frac{m}{2} \right| \) có 7 điểm cực trị.