Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y=x^3−(m+1)x^2+(m^2−2)x−m^2+3 có hai điểm cực trị và hai điểm cực trị đó nằm về hai phía khác nhau đối với trục hoành

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Ta có:  \( {y}’=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+{{m}^{2}}-2=0 \)

Để hàm số có hai điểm cực trị  \( \Leftrightarrow {\Delta }’>0\Leftrightarrow -2{{m}^{2}}+2m+7>0 \)

 \( \Leftrightarrow \frac{1-\sqrt{15}}{2}<m<\frac{1+\sqrt{15}}{2} \)  (*)

Ta lần lượt thử bốn giá trị nguyên của m thỏa mãn (*) là  \( -1;0;1;2 \).

Ta được bốn hàm số:

 \( y={{x}^{3}}-x+2 \);  \( y={{x}^{3}}-{{x}^{2}}-2x+3 \); y={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-x+2;  \( y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x-1 \)

Khi đó ta nhận thấy chỉ có m = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.