Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y=x^3−8x^2+(m^2+11)x−2m^2+2 có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục Ox

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Yêu cầu bài toán  \( \Leftrightarrow  \) đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

 \( \Leftrightarrow {{x}^{3}}-8{{x}^{2}}+\left( {{m}^{2}}+11 \right)x-2{{m}^{2}}+2=0 \) có ba nghiệm phân biệt

 \( {{x}^{3}}-8{{x}^{2}}+\left( {{m}^{2}}+11 \right)x-2{{m}^{2}}+2=0 \) \( \Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}-6x+{{m}^{2}}-1 \right)=0 \)

 \( \Rightarrow \left[ \begin{align}  & x=2 \\  & {{x}^{2}}-6x+{{m}^{2}}-1=0\text{  }(*) \\ \end{align} \right. \)

Suy ra phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 2

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {\Delta }’=10-{{m}^{2}}>0 \\  & {{m}^{2}}-8\ne 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m\ne \pm 2\sqrt{2} \\  & -\sqrt{10}<m<\sqrt{10} \\ \end{align} \right. \)

Vậy có 7 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn đề bài.