Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y=mx^3−(2m−1)x^2+2mx−m−1 có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trạng thái khi và chỉ khi phương trình

 \( m{{x}^{3}}-(2m-1){{x}^{2}}+2mx-m-1=0 \)   (1) có 3 nghiệm phân biệt.

Ta có:

 \( (1)\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left[ m{{x}^{2}}-(m-1)x+m+1 \right]=0 \)

Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình  \( m{{x}^{2}}-(m-1)x+m+1=0 \) có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m\ne 0 \\  & m-(m-1)+m+1\ne 0 \\  & {{(m-1)}^{2}}-4m(m+1)>0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m\ne 0 \\  & m+2\ne 0 \\  & -3{{m}^{2}}-6m+1>0 \\ \end{align} \right. \)

Do  \( m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=-1 \).