Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để điểm M(2m3;m) tạo với hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số y=2x^3−3(2m+1)x^2+6m(m+1)x+1 (C) một tam giác có diện tích nhỏ nhất

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.                        

Ta có: \({y}’=6{{x}^{2}}-6\left( 2m+1 \right)x+6m\left( m+1 \right)\)

 \( {y}’=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=m \\ & x=m+1 \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \forall m\in \mathbb{R} \), hàm số luôn có cực đại, cực tiểu.

Tọa độ các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị là  \( A\left( m;2{{m}^{3}}+3{{m}^{2}}+1 \right) \),  \( B\left( m+1;2{{m}^{3}}+3{{m}^{2}} \right) \)

Suy ra:  \( AB=\sqrt{2} \) và phương trình đường thẳng AB:  \( x+y-2{{m}^{3}}-3{{m}^{2}}-m-1=0 \)

Do đó, tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ M tới AB nhỏ nhất.

Ta có:  \( {{d}_{\left( M,AB \right)}}=\frac{3{{m}^{2}}+1}{\sqrt{2}}\ge \frac{\sqrt{2}}{2} \), dấu “=” xảy ra khi m = 0