Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình 16.3^f(x)−[f^2(x)+2^f(x)−8].4^f(x)≥(m^2−3m).6^f(x) nghiệm đúng với mọi giá trị thuộc [−1;9]

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Dễ thấy  \( -4\le f(x)\le 2,\forall x\in \left[ -1;9 \right] \) (1) nên  \( -\left[ f(x)+4 \right].\left[ f(x)-2 \right]\ge 0,\forall x\in \left[ -1;9 \right] \)

Do đó:  \( -\left[ {{f}^{2}}(x)+2f(x)-8 \right]\ge 0,\forall x\in \left[ -1;9 \right] \) (2).

Ta có:  \( {{16.3}^{f(x)}}-\left[ {{f}^{2}}(x)+2f(x)-8 \right]{{.4}^{f(x)}}\ge \left( {{m}^{2}}-3m \right){{.6}^{f(x)}} \) nghiệm đúng với mọi  \( x\in \left[ -1;9 \right] \).

 \( \Leftrightarrow 16.{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{f(x)}}-\left[ {{f}^{2}}(x)+2f(x)-8 \right].{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{f(x)}}\ge {{m}^{2}}-3m  \) nghiệm đúng với mọi  \( x\in \left[ -1;9 \right] \).

\( \Leftrightarrow \alpha =\displaystyle \min_{[-1;9]}\left\{ 16.{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{f(x)}}-\left[ {{f}^{2}}(x)+2f(x)-8 \right].{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{f(x)}} \right\}\ge {{m}^{2}}-3m  \) (3)

Từ (1) và (2), ta có:  \( {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{f(x)}}\ge {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}} \) và  \( -\left[ {{f}^{2}}(x)+2f(x)-8 \right].{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{f(x)}}\ge 0,\forall x\in \left[ -1;9 \right] \).

Suy ra:  \( \Leftrightarrow 16.{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{f(x)}}-\left[ {{f}^{2}}(x)+2f(x)-8 \right].{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{f(x)}}\ge 4,\forall x\in \left[ -1;9 \right] \).

Dầu “=” xảy ra khi và chỉ khi  \( f(x)=2\Leftrightarrow x=-1\vee x=a\text{ }\left( 7<a<8 \right) \)

Do đó:  \( \alpha =4 \) và  \( (3)\Leftrightarrow 4\ge {{m}^{2}}-3m\Leftrightarrow -1\le m\le 4 \)

Vì  \( m\in \mathbb{Z} \) nên  \( m\in \left\{ -1;0;1;2;3;4 \right\} \)