Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m∈[−2018;2019] để đồ thị hàm số y=x^3−3mx+3 và đường thẳng y=3x+1 có duy nhất một điểm chung

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Phương trình hoành độ giao điểm:  \( {{x}^{3}}-3mx+3=3x+1 \)

 \( \Leftrightarrow {{x}^{3}}-3x+2=3mx\Leftrightarrow 3m=\frac{{{x}^{3}}-3x+2}{x}\text{ }(1) \)

Xét hàm số \(f(x)=\frac{{{x}^{3}}-3x+2}{x}={{x}^{2}}-3+\frac{2}{x}\)

\({f}'(x)=2x-\frac{2}{{{x}^{2}}}=\frac{2{{x}^{3}}-2}{{{x}^{3}}}\); \({f}'(x)=0\Leftrightarrow x=1\)

Bảng biến thiên:

Khi đó yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow m<0\).

Mà \( m\in \left[ -2018;2019 \right]\overset{m\in \mathbb{Z}}{\rightarrow} \) có 2018 giá trị thỏa mãn.