Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m∈[−10;10] để bất phương trình sau nghiệm đúng ∀x∈R: (6+2√7)^x+(2−m)(3−√7)^x−(m+1).2^x≥0

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Ta có:  \( {{\left( 6+2\sqrt{7} \right)}^{x}}+\left( 2-m \right){{\left( 3-\sqrt{7} \right)}^{x}}-\left( m+1 \right){{.2}^{x}}\ge 0 \) \( \Leftrightarrow {{2}^{x}}{{\left( 3+\sqrt{7} \right)}^{x}}+\left( 2-m \right){{\left( 3-\sqrt{7} \right)}^{x}}>\left( m+1 \right){{.2}^{x}} \)

 \( \Leftrightarrow {{\left( 3+\sqrt{7} \right)}^{x}}+\left( 2-m \right){{\left( \frac{3-\sqrt{7}}{2} \right)}^{x}}>m+1 \)

 \( t={{\left( 3+\sqrt{7} \right)}^{x}},t>0\Rightarrow {{\left( \frac{3-\sqrt{7}}{2} \right)}^{x}}=\frac{1}{t} \).

Bất phương trình đã cho trở thành:  \( t+\left( 2-m \right).\frac{1}{t}>m+1\Leftrightarrow \frac{{{t}^{2}}-t+2}{t+1}>m  \)

Xét hàm số  \( {f}'(t)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=-3 \\  & t=0 \\ \end{align} \right. \)

Khi đó, ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên trên ta suy ra để bất phương trình đã cho nghiệm đúng thì m < 1.

Suy ra trong đoạn  \( \left[ -10;10 \right] \) có tất cả 11 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.