Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \( m\in \left[ -10;10 \right] \) để bất phương trình sau nghiệm đúng \( \forall x\in \mathbb{R} \): \( {{\left( 6+2\sqrt{7} \right)}^{x}}+\left( 2-m \right){{\left( 3-\sqrt{7} \right)}^{x}}-\left( m+1 \right){{.2}^{x}}\ge 0 \)
A. 10
B. 9
C. 12
D. 11
Hướng dẫn giải:
Đáp án D.
Ta có: \( {{\left( 6+2\sqrt{7} \right)}^{x}}+\left( 2-m \right){{\left( 3-\sqrt{7} \right)}^{x}}-\left( m+1 \right){{.2}^{x}}\ge 0 \) \( \Leftrightarrow {{2}^{x}}{{\left( 3+\sqrt{7} \right)}^{x}}+\left( 2-m \right){{\left( 3-\sqrt{7} \right)}^{x}}>\left( m+1 \right){{.2}^{x}} \)
\( \Leftrightarrow {{\left( 3+\sqrt{7} \right)}^{x}}+\left( 2-m \right){{\left( \frac{3-\sqrt{7}}{2} \right)}^{x}}>m+1 \)
\( t={{\left( 3+\sqrt{7} \right)}^{x}},t>0\Rightarrow {{\left( \frac{3-\sqrt{7}}{2} \right)}^{x}}=\frac{1}{t} \).
Bất phương trình đã cho trở thành: \( t+\left( 2-m \right).\frac{1}{t}>m+1\Leftrightarrow \frac{{{t}^{2}}-t+2}{t+1}>m \)
Xét hàm số \( {f}'(t)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=-3 \\ & t=0 \\ \end{align} \right. \)
Khi đó, ta có bảng biến thiên sau:
Từ bảng biến thiên trên ta suy ra để bất phương trình đã cho nghiệm đúng thì m < 1.
Suy ra trong đoạn \( \left[ -10;10 \right] \) có tất cả 11 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!