Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m∈[−10;10] để bất phương trình sau nghiệm đúng ∀x∈R: (6+2√7)^x+(2−m)(3−√7)^x−(m+1).2^x≥0

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \( m\in \left[ -10;10 \right] \) để bất phương trình sau nghiệm đúng  \( \forall x\in \mathbb{R} \):  \( {{\left( 6+2\sqrt{7} \right)}^{x}}+\left( 2-m \right){{\left( 3-\sqrt{7} \right)}^{x}}-\left( m+1 \right){{.2}^{x}}\ge 0 \)

A. 10

B. 9

C. 12                                

D. 11

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Ta có:  \( {{\left( 6+2\sqrt{7} \right)}^{x}}+\left( 2-m \right){{\left( 3-\sqrt{7} \right)}^{x}}-\left( m+1 \right){{.2}^{x}}\ge 0 \) \( \Leftrightarrow {{2}^{x}}{{\left( 3+\sqrt{7} \right)}^{x}}+\left( 2-m \right){{\left( 3-\sqrt{7} \right)}^{x}}>\left( m+1 \right){{.2}^{x}} \)

 \( \Leftrightarrow {{\left( 3+\sqrt{7} \right)}^{x}}+\left( 2-m \right){{\left( \frac{3-\sqrt{7}}{2} \right)}^{x}}>m+1 \)

 \( t={{\left( 3+\sqrt{7} \right)}^{x}},t>0\Rightarrow {{\left( \frac{3-\sqrt{7}}{2} \right)}^{x}}=\frac{1}{t} \).

Bất phương trình đã cho trở thành:  \( t+\left( 2-m \right).\frac{1}{t}>m+1\Leftrightarrow \frac{{{t}^{2}}-t+2}{t+1}>m  \)

Xét hàm số  \( {f}'(t)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=-3 \\  & t=0 \\ \end{align} \right. \)

Khi đó, ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên trên ta suy ra để bất phương trình đã cho nghiệm đúng thì m < 1.

Suy ra trong đoạn  \( \left[ -10;10 \right] \) có tất cả 11 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *