Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số y=x^4−4x^3+(m−2)x^2+8x+4 cắt trục hoành tại đúng hai điểm có hoành độ lớn hơn 1

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Phương trình hoành độ giao điểm:  \( {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+\left( m-2 \right){{x}^{2}}+8x+4=0 \)

Đồ thị hàm số  \( y={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+\left( m-2 \right){{x}^{2}}+8x+4 \) cắt trục hoành tại đúng hai điểm có hoành độ lớn hơn 1  \( \Leftrightarrow  \) có đúng hai nghiệm lớn hơn 1.

 \( \left( * \right)\Leftrightarrow {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+8x+4=\left( 2-m \right){{x}^{2}} \) \( \Leftrightarrow 2-m={{x}^{2}}-4x+\frac{8}{x}+\frac{4}{{{x}^{2}}} \)

Đây là phương trình hoành độ giao điểm của (C):  \( y={{x}^{2}}-4x+\frac{8}{x}+\frac{4}{{{x}^{2}}} \) (x > 1) với đường thẳng  \( y=2-m  \) song song với trục hoành.

Xét hàm số  \( y={{x}^{2}}-4x+\frac{8}{x}+\frac{4}{{{x}^{2}}} \) (x > 1)

 \( {y}’=2x-4-\frac{8}{{{x}^{2}}}+\frac{4}{{{x}^{3}}}=\frac{2{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-8x-8}{{{x}^{2}}} \).

Cho  \( {y}’=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=1-\sqrt{3}\text{ }(l) \\  & x=1+\sqrt{3}\text{ }(n) \\ \end{align} \right. \)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, yêu cầu bài toán  \( \Leftrightarrow 0<2-m<9\Leftrightarrow -7<m<2 \)

Vì m nguyên nên  \( m\in \left\{ -6;-5;….,1 \right\} \)

Vậy có 8 giá trị nguyên của m thỏa bài toán.