Có bao nhiêu giá trị dương của số thực a sao cho phương trình z^2+√3z+a^2−2a=0 có nghiệm phức z0 với phần ảo khác 0 thỏa mãn |z0|=√3

Có bao nhiêu giá trị dương của số thực a sao cho phương trình \( {{z}^{2}}+\sqrt{3}z+{{a}^{2}}-2a= \)0 có nghiệm phức \({{z}_{0}}\) với phần ảo khác 0 thỏa mãn \(\left| {{z}_{0}} \right|=\sqrt{3}\).

A. 3

B. 2

C. 1                                   

D. 4

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có:  \( \Delta =3-4({{a}^{2}}-2a)=3-4{{a}^{2}}+8a  \)

Phương trình  \( {{z}^{2}}+\sqrt{3}z+{{a}^{2}}-2a=0 \) có nghiệm phức khi và chỉ khi

 \( \Delta <0\Leftrightarrow 3-4{{a}^{2}}+8a<0\Leftrightarrow 4{{a}^{2}}-8a-3>0 \)      (*).

Khi đó phương trình có hai nghiệm \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) là hai số phức liên hợp của nhau và \(\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|\).

Ta có:  \( {{z}_{1}}.{{z}_{2}}={{a}^{2}}-2a\Rightarrow \left| {{z}_{1}}.{{z}_{2}} \right|=\left| {{a}^{2}}-2a \right| \) \( \Leftrightarrow \left| {{z}_{1}} \right|.\left| {{z}_{2}} \right|=\left| {{a}^{2}}-2a \right|\Rightarrow {{\left| {{z}_{0}} \right|}^{2}}=\left| {{a}^{2}}-2a \right| \)

Theo giả thiết có  \( {{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}=\left| {{a}^{2}}-2a \right| \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{a}^{2}}-2a=3 \\  & {{a}^{2}}-2a=-3 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & a=-1 \\  & a=3 \\ \end{align} \right. \) (thỏa mãn điều kiện (*)).

Các giá trị của a thỏa mãn điều kiện (*).

Vậy có 1 giá trị dương a thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán mới!

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *