Có bao nhiêu giá trị dương của số thực a sao cho phương trình z^2+√3z+a^2−2a=0 có nghiệm phức z0 với phần ảo khác 0 thỏa mãn |z0|=√3

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có:  \( \Delta =3-4({{a}^{2}}-2a)=3-4{{a}^{2}}+8a  \)

Phương trình  \( {{z}^{2}}+\sqrt{3}z+{{a}^{2}}-2a=0 \) có nghiệm phức khi và chỉ khi

 \( \Delta <0\Leftrightarrow 3-4{{a}^{2}}+8a<0\Leftrightarrow 4{{a}^{2}}-8a-3>0 \)      (*).

Khi đó phương trình có hai nghiệm \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) là hai số phức liên hợp của nhau và \(\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|\).

Ta có:  \( {{z}_{1}}.{{z}_{2}}={{a}^{2}}-2a\Rightarrow \left| {{z}_{1}}.{{z}_{2}} \right|=\left| {{a}^{2}}-2a \right| \) \( \Leftrightarrow \left| {{z}_{1}} \right|.\left| {{z}_{2}} \right|=\left| {{a}^{2}}-2a \right|\Rightarrow {{\left| {{z}_{0}} \right|}^{2}}=\left| {{a}^{2}}-2a \right| \)

Theo giả thiết có  \( {{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}=\left| {{a}^{2}}-2a \right| \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{a}^{2}}-2a=3 \\  & {{a}^{2}}-2a=-3 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & a=-1 \\  & a=3 \\ \end{align} \right. \) (thỏa mãn điều kiện (*)).

Các giá trị của a thỏa mãn điều kiện (*).

Vậy có 1 giá trị dương a thỏa mãn yêu cầu bài toán.