Cho z là số phức thỏa mãn |z¯|=|z+2i|. Giá trị nhỏ nhất của |z−1+2i|+|z+1+3i| là

Cho z là số phức thỏa mãn \( \left| {\bar{z}} \right|=\left| z+2i \right| \). Giá trị nhỏ nhất của  \( \left| z-1+2i \right|+\left| z+1+3i \right| \) là

A. \( 5\sqrt{2} \)

B.  \( \sqrt{13} \)                       

C.  \( \sqrt{29} \)              

D.  \( \sqrt{5} \)

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Đặt  \( z=a+bi\text{ }(a,b\in \mathbb{R}) \).

Ta có:  \( \left| {\bar{z}} \right|=\left| z+2i \right|\Leftrightarrow \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{(b+2)}^{2}}}\Leftrightarrow 4b+4=0\Leftrightarrow b=-1\Rightarrow z=a-I \).

Xét  \( \left| z-1+2i \right|+\left| z+1+3i \right|=\left| a-1+i \right|+\left| a+1+2i \right|=\sqrt{{{(1-a)}^{2}}+{{1}^{2}}}+\sqrt{{{(1+a)}^{2}}+{{2}^{2}}} \).

Áp dụng bất đẳng thức Minkovsky:

\( \sqrt{{{(1-a)}^{2}}+{{1}^{2}}}+\sqrt{{{(1+a)}^{2}}+{{2}^{2}}}\ge \sqrt{{{(1-a+1+a)}^{2}}+{{(1+2)}^{2}}}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13} \).

Suy ra:  \( \left| z-1+2i \right|+\left| z+1+3i \right| \) đạt giá trị nhỏ nhất là  \( \sqrt{13} \) khi  \( 2(1-a)=1+a\Leftrightarrow a=\frac{1}{3} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *