Cho z là số phức thỏa mãn |z¯|=|z+2i|. Giá trị nhỏ nhất của |z−1+2i|+|z+1+3i| là

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Đặt  \( z=a+bi\text{ }(a,b\in \mathbb{R}) \).

Ta có:  \( \left| {\bar{z}} \right|=\left| z+2i \right|\Leftrightarrow \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{(b+2)}^{2}}}\Leftrightarrow 4b+4=0\Leftrightarrow b=-1\Rightarrow z=a-I \).

Xét  \( \left| z-1+2i \right|+\left| z+1+3i \right|=\left| a-1+i \right|+\left| a+1+2i \right|=\sqrt{{{(1-a)}^{2}}+{{1}^{2}}}+\sqrt{{{(1+a)}^{2}}+{{2}^{2}}} \).

Áp dụng bất đẳng thức Minkovsky:

\( \sqrt{{{(1-a)}^{2}}+{{1}^{2}}}+\sqrt{{{(1+a)}^{2}}+{{2}^{2}}}\ge \sqrt{{{(1-a+1+a)}^{2}}+{{(1+2)}^{2}}}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13} \).

Suy ra:  \( \left| z-1+2i \right|+\left| z+1+3i \right| \) đạt giá trị nhỏ nhất là  \( \sqrt{13} \) khi  \( 2(1-a)=1+a\Leftrightarrow a=\frac{1}{3} \).