Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD. Đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Gọi F là hình chiếu của E trên AD. Đường thẳng CF cắt đường tròn tại điểm thứ hai là M (M khác C). Gọi N là giao điểm của BD và CF.
a) Chứng minh tứ giác ABEF và tứ giác CDFE là các tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh FA là tia phân giác của góc \( \widehat{BFM} \) và BE.DN = EN.BD.
c) Gọi K là trung điểm của DE. Chứng minh tứ giác BCKF nội tiếp.
Hướng dẫn giải:
a) Chứng minh tứ giác ABEF và tứ giác CDFE là các tứ giác nội tiếp.
Tứ giác ABEF có \( \widehat{ABE}+\widehat{AFE}={{180}^{O}} \).
Mà 2 góc là hai góc đối nhau nên tứ giác ABEF nội tiếp trong một đường tròn.
Chứng minh tương tự ta được tứ giác CDFE nội tiếp.
b) Chứng minh FA là tia phân giác của góc \( \widehat{BFM} \) và BE.DN = EN.BD.
Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABEF có \( \widehat{AEB}=\widehat{AFB} \) (1)
Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDFE có \( \widehat{CFD}=\widehat{CED} \) (2)
\( \widehat{AEB}=\widehat{CED} \) (hai góc đối đỉnh) (3)
\( \widehat{AFM}=\widehat{CFD} \) (hai góc đối đỉnh) (4)
Từ (1), (2), (3), (4) \( \Rightarrow \widehat{BFA}=\widehat{MFA} \)
\( \Rightarrow \)FA là tia phân giác của góc \( \widehat{BFM} \)
Chứng minh CE là phân giác của \( \widehat{BCK} \)
\( \Rightarrow \frac{BE}{NE}=\frac{BC}{NC} \) (5)
Chứng minh CD là phân giác góc ngoài tại C của \( \Delta BCN \)
\( \Rightarrow \frac{BD}{ND}=\frac{BC}{NC} \) (6)
Từ (5) và (6), suy ra: \( \frac{BE}{NE}=\frac{BD}{ND} \) \( \Rightarrow BE.DN=BD.EN \)
c) Gọi K là trung điểm của DE. Chứng minh tứ giác BCKF nội tiếp.
Chứng minh \( \Delta KFD \) cân tại K \( \Rightarrow \widehat{BKF}=2\widehat{BDF} \) (7)
Ta có: \( \widehat{BCF}=2\widehat{BCA} \) (8)
Trong (O) có \( \widehat{BCA}=\widehat{BDF} \) (9)
Từ (7), (8), (9) suy ra: \( \widehat{BKF}=\widehat{BCF} \)
Suy ra tứ giác BCKF nội tiếp
Các bài toán liên quan
Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Từ một điểm M ở ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Qua A, kẻ đường thẳng song song với MO cắt đường tròn tại E (E khác A), đường thẳng ME cắt đường tròn tại F (F khác E), đường thẳng AF cắt MO tại N, H là giao điểm của MO và AB
Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B và C là các tiếp điểm). Đường thẳng CO cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D; đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E; đường thẳng BE cắt AO tại F; H là giao điểm của AO và BC
Bài toán mới!
Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Từ một điểm M ở ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Qua A, kẻ đường thẳng song song với MO cắt đường tròn tại E (E khác A), đường thẳng ME cắt đường tròn tại F (F khác E), đường thẳng AF cắt MO tại N, H là giao điểm của MO và AB
Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B và C là các tiếp điểm). Đường thẳng CO cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D; đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E; đường thẳng BE cắt AO tại F; H là giao điểm của AO và BC
Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!
Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!
- Với đội ngũ gia sư dạy kèm gồm giáo viên và sinh viên ở các trường uy tín nhất, chúng tôi nhận dạy kèm tại nhà và dạy kèm online 1 kèm 1.
- Nhận dạy kèm môn phổ thông: Toán học, Vật lý, Hóa học, Tiếng Anh, Sinh học, Văn học, … các lớp 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, LTDH và các môn ĐH–CĐ: Toán cao cấp, Xác suất thống kê...
- Nhận dạy kèm Tiếng Anh (Giao tiếp, TOEIC, TOEFL, IELTS, ...) - Tiếng Hoa - Tiếng Hàn - Tiếng Nhật (Giao tiếp, chứng chỉ N5, N4, N3, N2, N1), Tin Học (Văn phòng, Đồ họa, Lập trình,...) cho các học viên ở mọi lứa tuổi.
- Nhận dạy kèm các môn năng khiếu: Cờ Vua, Cờ Tướng, Đàn Ghitar, Đàn Dương Cầm,…
- Đ/C Trung Tâm: Số 103/6, Hẻm 528TC, Đường Trường Chinh, Kp. 7, P. Tân Hưng Thuận, Quận 12, Tp. HCM
- Hotline: 094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)
No comment yet, add your voice below!