Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD. Đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Gọi F là hình chiếu của E trên AD. Đường thẳng CF cắt đường tròn tại điểm thứ hai là M (M khác C). Gọi N là giao điểm của BD và CF

Hướng dẫn giải:

a) Chứng minh tứ giác ABEF và tứ giác CDFE là các tứ giác nội tiếp.

Tứ giác ABEF có  \( \widehat{ABE}+\widehat{AFE}={{180}^{O}} \).

Mà 2 góc là hai góc đối nhau nên tứ giác ABEF nội tiếp trong một đường tròn.

Chứng minh tương tự ta được tứ giác CDFE nội tiếp.

b) Chứng minh FA là tia phân giác của góc \( \widehat{BFM} \) và BE.DN = EN.BD.

Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABEF có  \( \widehat{AEB}=\widehat{AFB} \) (1)

Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDFE có  \( \widehat{CFD}=\widehat{CED} \) (2)

 \( \widehat{AEB}=\widehat{CED} \) (hai góc đối đỉnh) (3)

 \( \widehat{AFM}=\widehat{CFD} \) (hai góc đối  đỉnh) (4)

Từ (1), (2), (3), (4)  \( \Rightarrow \widehat{BFA}=\widehat{MFA} \)

 \( \Rightarrow  \)FA là tia phân giác của góc  \( \widehat{BFM} \)

Chứng minh CE là phân giác của  \( \widehat{BCK} \)

 \( \Rightarrow \frac{BE}{NE}=\frac{BC}{NC} \)  (5)

Chứng minh CD là phân giác góc ngoài tại C của  \( \Delta BCN  \)

 \( \Rightarrow \frac{BD}{ND}=\frac{BC}{NC} \)   (6)

Từ (5) và (6), suy ra:  \( \frac{BE}{NE}=\frac{BD}{ND} \)  \( \Rightarrow BE.DN=BD.EN  \)

c) Gọi K là trung điểm của DE. Chứng minh tứ giác BCKF nội tiếp.

Chứng minh  \( \Delta KFD  \) cân tại K  \( \Rightarrow \widehat{BKF}=2\widehat{BDF} \)  (7)

Ta có:  \( \widehat{BCF}=2\widehat{BCA} \)   (8)

Trong (O) có  \( \widehat{BCA}=\widehat{BDF} \)   (9)

Từ (7), (8), (9) suy ra:  \( \widehat{BKF}=\widehat{BCF} \)

Suy ra tứ giác BCKF nội tiếp