Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có điểm A(1;1;1), B(2;0;2), C(-1;-1;0), D(0;3;4). Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm \( {B}’,{C}’,{D}’ \) thỏa \( \frac{AB}{A{B}’}+\frac{AC}{A{C}’}+\frac{AD}{A{D}’}=4 \). Viết phương trình mặt phẳng \( ({B}'{C}'{D}’) \) biết tứ diện \( A{B}'{C}'{D}’ \) có thể tích nhỏ nhất?
A. \( 16x+40y+44z-39=0 \)
B. \( 16x-40y-44z+39=0 \)
C. \( 16x+40y-44z+39=0 \)
D. \( 16x-40y-44z-39=0 \)
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Đặt \( x=\frac{A{B}’}{AB},y=\frac{A{C}’}{AC},z=\frac{A{D}’}{AD} \). Ta có: \( \frac{AB}{A{B}’}+\frac{AC}{A{C}’}+\frac{AD}{A{D}’}=4 \).
Suy ra: \( 4=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge 3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}\Rightarrow xyz\ge \frac{27}{64} \).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \( x=y=z \).
\( \left\{ \begin{align} & \overrightarrow{AB}=(1;-1;1) \\ & \overrightarrow{AC}=(-2;-2;-1) \\ \end{align} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=(3;-1;-4),\text{ }\overrightarrow{AD}=(-1;2;3) \).
Thể tích của tứ diện ABCD là \( {{V}_{ABCD}}=\frac{1}{6}\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{AD} \right|=\frac{17}{6} \).
Lại có: \( {{V}_{A{B}'{C}'{D}’}}=xyz{{V}_{ABCD}}\Rightarrow \min {{V}_{A{B}'{C}'{D}’}}\Leftrightarrow {{(xyz)}_{\min }} \) khi và chỉ khi \( x=y=z=\frac{3}{4}\Rightarrow \)Mặt phẳng \( ({B}'{C}'{D}’) \) và đi qua điểm \( {B}’ \).
Vì \( \overrightarrow{A{B}’}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}=\left( \frac{3}{4};-\frac{3}{4};\frac{3}{4} \right) \) nên \( {B}’\left( \frac{7}{4};\frac{1}{4};\frac{7}{4} \right) \).
\(\left\{ \begin{align} & \overrightarrow{BC}=(-3;-1;-2) \\ & \overrightarrow{BD}=(-2;3;2) \\ \end{align} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right]=(4;10;-11)\Rightarrow ({B}'{C}'{D}’)\) nhận VTPT là \( \vec{n}=(4;10;-11) \).
Suy ra phương trình mặt phẳng \(({B}'{C}'{D}’):16x+40y-44z+39=0\).
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!