cho tứ diện ABCD có điểm A(1;1;1), B(2;0;2), C(-1;-1;0), D(0;3;4). Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm B′,C′,D′ thỏa AB/AB′+AC/AC′+AD/AD′=4. Viết phương trình mặt phẳng (B′C′D′) biết tứ diện AB′C′D′ có thể tích nhỏ nhất

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Đặt  \( x=\frac{A{B}’}{AB},y=\frac{A{C}’}{AC},z=\frac{A{D}’}{AD} \). Ta có:  \( \frac{AB}{A{B}’}+\frac{AC}{A{C}’}+\frac{AD}{A{D}’}=4 \).

Suy ra:  \( 4=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge 3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}\Rightarrow xyz\ge \frac{27}{64} \).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  \( x=y=z  \).

 \( \left\{ \begin{align}  & \overrightarrow{AB}=(1;-1;1) \\  & \overrightarrow{AC}=(-2;-2;-1) \\ \end{align} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=(3;-1;-4),\text{ }\overrightarrow{AD}=(-1;2;3) \).

Thể tích của tứ diện ABCD là  \( {{V}_{ABCD}}=\frac{1}{6}\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{AD} \right|=\frac{17}{6} \).

Lại có:  \( {{V}_{A{B}'{C}'{D}’}}=xyz{{V}_{ABCD}}\Rightarrow \min {{V}_{A{B}'{C}'{D}’}}\Leftrightarrow {{(xyz)}_{\min }} \) khi và chỉ khi  \( x=y=z=\frac{3}{4}\Rightarrow  \)Mặt phẳng  \( ({B}'{C}'{D}’) \) và đi qua điểm  \( {B}’ \).

Vì  \( \overrightarrow{A{B}’}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}=\left( \frac{3}{4};-\frac{3}{4};\frac{3}{4} \right) \) nên  \( {B}’\left( \frac{7}{4};\frac{1}{4};\frac{7}{4} \right) \).

\(\left\{ \begin{align}  & \overrightarrow{BC}=(-3;-1;-2) \\  & \overrightarrow{BD}=(-2;3;2) \\ \end{align} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right]=(4;10;-11)\Rightarrow ({B}'{C}'{D}’)\) nhận VTPT là  \( \vec{n}=(4;10;-11) \).

Suy ra phương trình mặt phẳng \(({B}'{C}'{D}’):16x+40y-44z+39=0\).