cho tứ diện ABCD có điểm A(1;0;-2), B(2;1;-1), C(1;-2;2), D(4;5;-7). Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm B′,C′,D′ thỏa mãn AB/AB′+AC/AC′+AD/AD′=8. Khi tứ diện AB′C′D′ có thể tích nhỏ nhất, mặt phẳng (B′C′D′) có phương trình dạng 6x+my+nz+p=0

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có điểm A(1;0;-2), B(2;1;-1), C(1;-2;2), D(4;5;-7). Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm \( {B}’,{C}’,{D}’ \) thỏa mãn  \( \frac{AB}{A{B}’}+\frac{AC}{A{C}’}+\frac{AD}{A{D}’}=8 \). Khi tứ diện  \( A{B}'{C}'{D}’ \) có thể tích nhỏ nhất, mặt phẳng  \( ({B}'{C}'{D}’) \) có phương trình dạng  \( 6x+my+nz+p=0\text{ }(m,n,p\in \mathbb{Z}) \). Tính  \( {{m}^{2}}-n-p  \).

A. 3

B. -3                                 

C. 7                                   

D. -7

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Đặt  \( x=\frac{A{B}’}{AB},y=\frac{A{C}’}{AC},z=\frac{A{D}’}{AD} \). Ta có:  \( \frac{AB}{A{B}’}+\frac{AC}{A{C}’}+\frac{AD}{A{D}’}=8 \).

Suy ra:  \( 8=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge 3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}\Rightarrow xyz\ge \frac{27}{512} \).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  \( x=y=z  \).

 \( \left\{ \begin{align}  & \overrightarrow{AB}=(1;1;1) \\  & \overrightarrow{AC}=(0;-2;4) \\ \end{align} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=(6;-4;-2),\text{ }\overrightarrow{AD}=(3;5;-5) \).

Thể tích của tứ diện ABCD là  \( {{V}_{ABCD}}=\frac{1}{6}\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{AD} \right|=\frac{4}{3} \).

Lại có:  \( {{V}_{A{B}'{C}'{D}’}}=xyz{{V}_{ABCD}}\Rightarrow \min {{V}_{A{B}'{C}'{D}’}}\Leftrightarrow {{(xyz)}_{\min }} \)khi và chỉ khi  \( x=y=z=\frac{3}{8}\Rightarrow  \) Mặt phẳng  \( ({B}'{C}'{D}’) \) và đi qua điểm  \( {B}’ \).

Vì  \( \overrightarrow{A{B}’}=\frac{3}{8}\overrightarrow{AB}=\left( \frac{3}{8};\frac{3}{8};\frac{3}{8} \right) \) nên  \( {B}’\left( \frac{11}{8};\frac{3}{8};-\frac{13}{8} \right) \).

\(\left\{ \begin{align}  & \overrightarrow{BC}=(-1;-3;3) \\  & \overrightarrow{BD}=(2;4;-6) \\\end{align} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right]=(6;0;2)\Rightarrow ({B}'{C}'{D}’)\) nhận VTPT là  \( \vec{n}=(6;0;2) \).

Suy ra phương trình mặt phẳng \(({B}'{C}'{D}’):6x+2z-5=0\) \(\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & m=0 \\  & n=2 \\  & p=-5 \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{m}^{2}}-n-p=3\).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 7b4a035yn3 may not exist

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *