cho tứ diện ABCD có điểm A(1;0;-2), B(2;1;-1), C(1;-2;2), D(4;5;-7). Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm B′,C′,D′ thỏa mãn AB/AB′+AC/AC′+AD/AD′=8. Khi tứ diện AB′C′D′ có thể tích nhỏ nhất, mặt phẳng (B′C′D′) có phương trình dạng 6x+my+nz+p=0

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Đặt  \( x=\frac{A{B}’}{AB},y=\frac{A{C}’}{AC},z=\frac{A{D}’}{AD} \). Ta có:  \( \frac{AB}{A{B}’}+\frac{AC}{A{C}’}+\frac{AD}{A{D}’}=8 \).

Suy ra:  \( 8=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge 3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}\Rightarrow xyz\ge \frac{27}{512} \).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  \( x=y=z  \).

 \( \left\{ \begin{align}  & \overrightarrow{AB}=(1;1;1) \\  & \overrightarrow{AC}=(0;-2;4) \\ \end{align} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=(6;-4;-2),\text{ }\overrightarrow{AD}=(3;5;-5) \).

Thể tích của tứ diện ABCD là  \( {{V}_{ABCD}}=\frac{1}{6}\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{AD} \right|=\frac{4}{3} \).

Lại có:  \( {{V}_{A{B}'{C}'{D}’}}=xyz{{V}_{ABCD}}\Rightarrow \min {{V}_{A{B}'{C}'{D}’}}\Leftrightarrow {{(xyz)}_{\min }} \)khi và chỉ khi  \( x=y=z=\frac{3}{8}\Rightarrow  \) Mặt phẳng  \( ({B}'{C}'{D}’) \) và đi qua điểm  \( {B}’ \).

Vì  \( \overrightarrow{A{B}’}=\frac{3}{8}\overrightarrow{AB}=\left( \frac{3}{8};\frac{3}{8};\frac{3}{8} \right) \) nên  \( {B}’\left( \frac{11}{8};\frac{3}{8};-\frac{13}{8} \right) \).

\(\left\{ \begin{align}  & \overrightarrow{BC}=(-1;-3;3) \\  & \overrightarrow{BD}=(2;4;-6) \\\end{align} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right]=(6;0;2)\Rightarrow ({B}'{C}'{D}’)\) nhận VTPT là  \( \vec{n}=(6;0;2) \).

Suy ra phương trình mặt phẳng \(({B}'{C}'{D}’):6x+2z-5=0\) \(\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & m=0 \\  & n=2 \\  & p=-5 \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{m}^{2}}-n-p=3\).