Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có điểm A(1;0;-2), B(2;1;-1), C(1;-2;2), D(4;5;-7). Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm \( {B}’,{C}’,{D}’ \) thỏa mãn \( \frac{AB}{A{B}’}+\frac{AC}{A{C}’}+\frac{AD}{A{D}’}=8 \). Khi tứ diện \( A{B}'{C}'{D}’ \) có thể tích nhỏ nhất, mặt phẳng \( ({B}'{C}'{D}’) \) có phương trình dạng \( 6x+my+nz+p=0\text{ }(m,n,p\in \mathbb{Z}) \). Tính \( {{m}^{2}}-n-p \).
A. 3
B. -3
C. 7
D. -7
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Đặt \( x=\frac{A{B}’}{AB},y=\frac{A{C}’}{AC},z=\frac{A{D}’}{AD} \). Ta có: \( \frac{AB}{A{B}’}+\frac{AC}{A{C}’}+\frac{AD}{A{D}’}=8 \).
Suy ra: \( 8=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge 3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}\Rightarrow xyz\ge \frac{27}{512} \).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \( x=y=z \).
\( \left\{ \begin{align} & \overrightarrow{AB}=(1;1;1) \\ & \overrightarrow{AC}=(0;-2;4) \\ \end{align} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=(6;-4;-2),\text{ }\overrightarrow{AD}=(3;5;-5) \).
Thể tích của tứ diện ABCD là \( {{V}_{ABCD}}=\frac{1}{6}\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{AD} \right|=\frac{4}{3} \).
Lại có: \( {{V}_{A{B}'{C}'{D}’}}=xyz{{V}_{ABCD}}\Rightarrow \min {{V}_{A{B}'{C}'{D}’}}\Leftrightarrow {{(xyz)}_{\min }} \)khi và chỉ khi \( x=y=z=\frac{3}{8}\Rightarrow \) Mặt phẳng \( ({B}'{C}'{D}’) \) và đi qua điểm \( {B}’ \).
Vì \( \overrightarrow{A{B}’}=\frac{3}{8}\overrightarrow{AB}=\left( \frac{3}{8};\frac{3}{8};\frac{3}{8} \right) \) nên \( {B}’\left( \frac{11}{8};\frac{3}{8};-\frac{13}{8} \right) \).
\(\left\{ \begin{align} & \overrightarrow{BC}=(-1;-3;3) \\ & \overrightarrow{BD}=(2;4;-6) \\\end{align} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right]=(6;0;2)\Rightarrow ({B}'{C}'{D}’)\) nhận VTPT là \( \vec{n}=(6;0;2) \).
Suy ra phương trình mặt phẳng \(({B}'{C}'{D}’):6x+2z-5=0\) \(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & m=0 \\ & n=2 \\ & p=-5 \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{m}^{2}}-n-p=3\).
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!