Cho tam giác vuông ABC (vuông tại A), đường tròn tâm B bán kính BA và đường tròn tâm C, bán kính CA cắt nhau tại D (D khác A), BC cắt chuyển động tròn tâm (B) tại E, F và cắt đường tròn tâm (C) tại M, N

Hướng dẫn giải:

\( \widehat{AEN}+\widehat{ANE}=\frac{1}{2}\left( \widehat{B}+\widehat{C} \right)={{45}^{O}} \)

 \( \widehat{AEF}=\widehat{ADF},\text{ }\widehat{ANM}=\widehat{ADM} \)

 \( \Rightarrow \widehat{IDF}=\widehat{IDA}+\widehat{ADF}={{45}^{O}} \)

 \( \Rightarrow \widehat{IBF}={{90}^{O}}\Rightarrow IB\bot EF\Rightarrow \widehat{IAE}={{45}^{O}} \).

 \( \Rightarrow I,A,N \) thẳng hàng, tương tự E, A, H thẳng hàng.

 \( \Rightarrow \widehat{EAN}={{135}^{O}}\Rightarrow \) Tứ giác APDQ nội tiếp.

 \( \Rightarrow \widehat{APQ}=\widehat{ADQ}=\widehat{AEC}\Rightarrow PQ\parallel EN\Rightarrow \frac{AP}{AQ}=\frac{AE}{AN} \).

Áp dụng định lí Menelaus với  \( \Delta PEM \), cát tuyến IAN:  \( \frac{IP}{IM}.\frac{NM}{NE}.\frac{AE}{AP}=1 \).

Tương tự với  \( \Delta QFN\Rightarrow \frac{HF}{HQ}.\frac{AQ}{AN}.\frac{EN}{EF}=1 \).

Nhân hai đẳng thức trên ta được:  \( \frac{IP}{IM}.\frac{HF}{HQ}.\frac{NM.AE.AQ}{AP.EF.AN}=1\Rightarrow \frac{IP}{IM}.\frac{HF}{HQ}=\frac{EF}{NM}=\frac{AB}{AC} \).