Cho tam giác vuông ABC ( \( \widehat{A}={{90}^{O}} \)), D là điểm trên cạnh BC kẻ tiếp tuyến DE với đường tròn tâm C, đường kính CA. Đường thẳng qua A vuông góc với BC cắt đường thẳng CE tại F, đường thẳng BF cắt DE tại M, qua B kẻ đường thẳng song song với CM cắt DE tại N. Chứng minh rằng M là trung điểm NE.
Hướng dẫn giải:
EC cắt đường tròn tâm C, bán kính CA tại J, dựng đường tròn đường kính DC cắt AC tại I.
Theo giả thiết \( DE\bot CE\Rightarrow \widehat{DIC}={{90}^{O}} \)
\( \Rightarrow \widehat{EIC}=\widehat{EDC},\text{ }AF\bot CD \).
\( \Rightarrow \widehat{AFC}=\widehat{EDC}\Rightarrow \widehat{EIC}=\widehat{AFC} \).
\( \Rightarrow \) Tứ giác AIFE nội tiếp.
Mặt khác: \( CA=CE\Rightarrow \widehat{CEA}=\widehat{CAE}=\widehat{CIF} \).
\( \Rightarrow IF\parallel AE\Rightarrow \frac{EF}{EC}=\frac{AI}{AC},\text{ }\widehat{A}={{90}^{O}} \) \( \Rightarrow AB\parallel DI\Rightarrow \frac{IC}{IA}=\frac{DC}{DB},\text{ }CF=CI \).
Áp dụng định lí Menelaus trong \( \Delta BFC \), cát tuyến DME:
\( \frac{MB}{MF}.\frac{EF}{EC}.\frac{DC}{DB}=1 \).
\( \frac{MB}{MF}.\frac{AI}{AC}.\frac{IC}{IA}=1\Rightarrow \frac{MB}{MF}=\frac{AC}{IC}=\frac{CJ}{CF}\Rightarrow BJ\parallel CM\Rightarrow ME=MN \).
Các bài toán liên quan
Các bài toán cùng chủ đề!
Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!
Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!
- Nhận dạy môn phổ thông: Toán học, Vật lý, Hóa học, Tiếng Anh các lớp 10, 11, 12, LTDH
- Cơ sở 1: Khu đô thị Garden, Thị trấn Đức Tài, Huyện Đức Linh, Tỉnh Bình Thuận
- Cơ sở 2: Số 103/6, Hẻm 528TC, Đường Trường Chinh, Kp. 7, P. Tân Hưng Thuận, Quận 12, Tp. HCM
- Cơ sở 3: số 33/66, hẻm 33, đường số 5, P. Bình Hưng Hòa, Quận Tân Bình, Tp. HCM
- Hotline: 094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)
- Với đội ngũ gia sư dạy kèm gồm giáo viên và sinh viên ở các trường uy tín nhất, chúng tôi nhận dạy kèm tại nhà và dạy kèm online 1 kèm 1.
- Nhận dạy kèm môn phổ thông: Toán học, Vật lý, Hóa học, Tiếng Anh, Sinh học, Văn học, … các lớp 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, LTDH và các môn ĐH–CĐ: Toán cao cấp, Xác suất thống kê...
- Nhận dạy kèm Tiếng Anh (Giao tiếp, TOEIC, TOEFL, IELTS, ...) - Tiếng Hoa - Tiếng Hàn - Tiếng Nhật (Giao tiếp, chứng chỉ N5, N4, N3, N2, N1), Tin Học (Văn phòng, Đồ họa, Lập trình,...) cho các học viên ở mọi lứa tuổi.
- Nhận dạy kèm các môn năng khiếu: Cờ Vua, Cờ Tướng, Đàn Ghitar, Đàn Dương Cầm,…
- Đ/C Trung Tâm: Số 103/6, Hẻm 528TC, Đường Trường Chinh, Kp. 7, P. Tân Hưng Thuận, Quận 12, Tp. HCM
- Hotline: 094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)
No comment yet, add your voice below!