Cho tam giác vuông ABC ( Aˆ=90O), D là điểm trên cạnh BC kẻ tiếp tuyến DE với đường tròn tâm C, đường kính CA. Đường thẳng qua A vuông góc với BC cắt đường thẳng CE tại F

Cho tam giác vuông ABC ( \( \widehat{A}={{90}^{O}} \)), D là điểm trên cạnh BC kẻ tiếp tuyến DE với đường tròn tâm C, đường kính CA. Đường thẳng qua A vuông góc với BC cắt đường thẳng CE tại F, đường thẳng BF cắt DE tại M, qua B kẻ đường thẳng song song với CM cắt DE tại N. Chứng minh rằng M là trung điểm NE.

Hướng dẫn giải:

EC cắt đường tròn tâm C, bán kính CA tại J, dựng đường tròn đường kính DC cắt AC tại I.

Theo giả thiết  \( DE\bot CE\Rightarrow \widehat{DIC}={{90}^{O}} \)

 \( \Rightarrow \widehat{EIC}=\widehat{EDC},\text{ }AF\bot CD \).

 \( \Rightarrow \widehat{AFC}=\widehat{EDC}\Rightarrow \widehat{EIC}=\widehat{AFC} \).

 \( \Rightarrow \) Tứ giác AIFE nội tiếp.

Mặt khác:  \( CA=CE\Rightarrow \widehat{CEA}=\widehat{CAE}=\widehat{CIF} \).

 \( \Rightarrow IF\parallel AE\Rightarrow \frac{EF}{EC}=\frac{AI}{AC},\text{ }\widehat{A}={{90}^{O}} \) \( \Rightarrow AB\parallel DI\Rightarrow \frac{IC}{IA}=\frac{DC}{DB},\text{ }CF=CI \).

Áp dụng định lí Menelaus trong  \( \Delta BFC \), cát tuyến DME:

 \( \frac{MB}{MF}.\frac{EF}{EC}.\frac{DC}{DB}=1 \).

 \( \frac{MB}{MF}.\frac{AI}{AC}.\frac{IC}{IA}=1\Rightarrow \frac{MB}{MF}=\frac{AC}{IC}=\frac{CJ}{CF}\Rightarrow BJ\parallel CM\Rightarrow ME=MN \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán cùng chủ đề!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *