Cho tam giác vuông ABC ( Aˆ=90O), D là điểm trên cạnh BC kẻ tiếp tuyến DE với đường tròn tâm C, đường kính CA. Đường thẳng qua A vuông góc với BC cắt đường thẳng CE tại F

Hướng dẫn giải:

EC cắt đường tròn tâm C, bán kính CA tại J, dựng đường tròn đường kính DC cắt AC tại I.

Theo giả thiết  \( DE\bot CE\Rightarrow \widehat{DIC}={{90}^{O}} \)

 \( \Rightarrow \widehat{EIC}=\widehat{EDC},\text{ }AF\bot CD \).

 \( \Rightarrow \widehat{AFC}=\widehat{EDC}\Rightarrow \widehat{EIC}=\widehat{AFC} \).

 \( \Rightarrow \) Tứ giác AIFE nội tiếp.

Mặt khác:  \( CA=CE\Rightarrow \widehat{CEA}=\widehat{CAE}=\widehat{CIF} \).

 \( \Rightarrow IF\parallel AE\Rightarrow \frac{EF}{EC}=\frac{AI}{AC},\text{ }\widehat{A}={{90}^{O}} \) \( \Rightarrow AB\parallel DI\Rightarrow \frac{IC}{IA}=\frac{DC}{DB},\text{ }CF=CI \).

Áp dụng định lí Menelaus trong  \( \Delta BFC \), cát tuyến DME:

 \( \frac{MB}{MF}.\frac{EF}{EC}.\frac{DC}{DB}=1 \).

 \( \frac{MB}{MF}.\frac{AI}{AC}.\frac{IC}{IA}=1\Rightarrow \frac{MB}{MF}=\frac{AC}{IC}=\frac{CJ}{CF}\Rightarrow BJ\parallel CM\Rightarrow ME=MN \).