Cho tam giác nhọn ABC, gọi (O1), (O2) là tâm đường tròn bàng tiếp của tam giác ứng với góc Bˆ và Cˆ. Đường tròn (O1) tiếp xúc với cạnh BC, AB, CA tại M, N, E đường tròn (O2) tiếp xúc với cạnh BC, AC, AB tại P, Q, F; đường thẳng MN và PQ cắt nhau tại D

Cho tam giác nhọn ABC, gọi (O1), (O2) là tâm đường tròn bàng tiếp của tam giác ứng với góc \( \widehat{B} \) và  \( \widehat{C} \). Đường tròn (O1) tiếp xúc với cạnh BC, AB, CA tại M, N, E đường tròn (O2) tiếp xúc với cạnh BC, AC, AB tại P, Q, F; đường thẳng MN và PQ cắt nhau tại D. Chứng minh rằng AD vuông góc với BC.

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết đường tròn (O1) tiếp xúc AC tại E, AB tại N suy ra  \( {{O}_{1}}N\bot AB \),  \( {{O}_{1}}E\bot AC \) \( \Rightarrow \widehat{{{O}_{1}}AN}=\widehat{{{O}_{1}}AE} \);

Đường tròn (O2) tiếp xúc AB tại F và AC tại Q suy ra  \( {{O}_{2}}Q\bot AC \),  \( {{O}_{2}}F\bot AB \).

 \( \Rightarrow \widehat{{{O}_{2}}AQ}=\widehat{{{O}_{2}}AF}\Rightarrow \widehat{{{O}_{1}}AN}=\widehat{{{O}_{2}}AF}\Rightarrow {{O}_{1}},A,{{O}_{2}} \) thẳng hàng.

 \( \Rightarrow \Delta {{O}_{2}}QA\backsim \Delta {{O}_{1}}NA \) (g.g)  \( \Rightarrow \frac{AN}{AQ}=\frac{{{O}_{1}}A}{{{O}_{2}}A} \) (1)

Theo giả thiết  \( {{O}_{1}}M\bot BC,\text{ }{{O}_{2}}P\bot BC \).

 \( \Rightarrow \frac{PH}{MH}=\frac{{{S}_{DPH}}}{{{S}_{MDH}}}=\frac{DP\sin \widehat{PDH}}{DM\sin \widehat{MDH}} \).

Mặt khác, áp dụng định lí sin cho  \( \Delta ABC \):

 \( \frac{DP}{DM}=\frac{\sin \widehat{DMP}}{\sin \widehat{DPM}}=\frac{\cos \widehat{{{O}_{1}}MN}}{\cos \widehat{{{O}_{2}}PQ}}=\frac{\sin \widehat{MNA}}{\sin \widehat{PQA}}=\frac{\sin \widehat{DNA}}{\sin \widehat{DQA}} \).

Áp dụng tiếp định lí sin cho  \( \Delta DNA \) và  \( \Delta DQA \), ta được:

 \( \frac{PH}{MH}=\frac{\sin \widehat{DNA}\sin \widehat{PDH}}{\sin \widehat{DQA}\sin \widehat{MDH}}=\frac{\sin \widehat{DNA}}{\sin \widehat{MDH}}.\frac{\sin \widehat{PDH}}{\sin \widehat{DQA}} \)

 \( =\frac{\sin \widehat{DNA}}{\sin \widehat{NDA}}.\frac{\sin \widehat{QDA}}{\sin \widehat{DQA}}=\frac{DA}{AN}.\frac{AQ}{DA}=\frac{AQ}{AN} \).

Kết hợp (1)  \( \Rightarrow \frac{PH}{MH}=\frac{{{O}_{2}}A}{{{O}_{1}}A}\Rightarrow {{O}_{2}}P\parallel DH\parallel {{O}_{1}}M\Rightarrow DH\bot BC \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán cùng chủ đề!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Fanpage Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Nhân Tài Việt

Fanpage Trung Tâm Gia Sư Dạy Kèm Nhân Tài Việt

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *