Cho tam giác ABC, trực tâm H đi qua trung điểm của đường cao kẻ từ đỉnh A. Chứng minh rằng cosA=cosB.cosC

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết H đi qua trung điểm của đường cao kẻ từ đỉnh A

 \( \Rightarrow H \) nằm trong  \( \Delta ABC \).

 \( \Rightarrow \Delta ABC \) nhọn, do tính chất ba đường cao đồng quy tại H.

Áp dụng định lí Menelaus đối với  \( \Delta ABD \), cát tuyến CHE:

 \( \Rightarrow \frac{HA}{HD}.\frac{CD}{CB}.\frac{EB}{EA}=1\Rightarrow \frac{CD}{CB}.\frac{EB}{EA}=1 \).

\(\Rightarrow \frac{EA}{AC}=\frac{CD}{AC}.\frac{EB}{BC},\text{ }CE\bot AB,\text{ }AD\bot BC\)

 \( \Rightarrow \cos A=\cos C.\cos B \).