Cho tam giác ABC, M trên cạnh AB thỏa mãn AM=12MB, N trên cạnh BC thỏa mãn CN=2NB, gọi E là giao điểm AN và CM. Tính diện tích của tam giác BEC biết diện tích tam giác ABC bằng 1

Hướng dẫn giải:

Áp dụng định lí Menelaus với  \( \Delta ABN \) và cát tuyến CME.

 \( \Rightarrow \frac{MA}{MB}.\frac{CB}{CN}.\frac{EN}{EA}=1\Rightarrow \frac{MA}{MB}.\frac{CB}{CN}.\frac{EN}{EA}=\frac{1}{2}.\frac{3}{2}.\frac{EN}{EA}=1 \).

 \( \Rightarrow \frac{EN}{EA}=\frac{4}{3}\Rightarrow {{S}_{\Delta BEN}}=\frac{4}{3}{{S}_{\Delta ABE}},\text{ }{{S}_{\Delta CNE}}=\frac{4}{3}{{S}_{\Delta AEC}} \)

 \( \Rightarrow {{S}_{\Delta BEC}}=\frac{4}{3}\left( {{S}_{\Delta ABE}}+{{S}_{\Delta ACE}} \right)=\frac{4}{3}\left( {{S}_{\Delta ABC}}-{{S}_{\Delta BEC}} \right) \)

 \( \Rightarrow \frac{7}{3}{{S}_{\Delta BCE}}=\frac{4}{3}{{S}_{\Delta ABC}}\Rightarrow {{S}_{\Delta BCE}}=\frac{4}{7} \).