Cho số thực α sao cho phương trình 2x−2−x=2cos(αx) có đúng 2019 nghiệm thực

Cho số thực \( \alpha  \) sao cho phương trình  \( {{2}^{x}}-{{2}^{-x}}=2\cos (\alpha x) \) có đúng 2019 nghiệm thực. Số nghiệm của phương trình  \( {{2}^{x}}+{{2}^{-x}}=4+2\cos (\alpha x) \) là:

A. 2019.
B. 2018.

C. 4037.                           

D. 4038.

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có:  \( {{2}^{x}}+{{2}^{-x}}=4+2\cos (\alpha x)\Leftrightarrow {{\left( {{2}^{\frac{x}{2}}}-{{2}^{-\frac{x}{2}}} \right)}^{2}}=2.2{{\cos }^{2}}\left( \alpha .\frac{x}{2} \right) \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{2}^{\frac{x}{2}}}-{{2}^{-\frac{x}{2}}}=2\cos \left( \alpha .\frac{x}{2} \right)\,\,\,\,\,(1) \\  & {{2}^{\frac{x}{2}}}-{{2}^{-\frac{x}{2}}}=-2\cos \left( \alpha .\frac{x}{2} \right)\,\,\,\,\,(2) \\ \end{align} \right. \).

Ta thấy, nếu phương trình  \( {{2}^{x}}-{{2}^{-x}}=2\cos (\alpha x) \) có 2019 nghiệm thực thì phương trình (1) cũng có 2019 nghiệm thực.

Nhận xét:

+  \( {{x}_{0}} \) là nghiệm của phương trình (1)  \( \Leftrightarrow {{x}_{0}} \) là nghiệm của phương trình (2).

+  \( {{x}_{0}}=0 \) không là nghiệm của hai phương trình (1), (2).

Do đó, tổng số nghiệm của cả hai phương trình (1), (2) là 4038.

Vậy phương trình  \( {{2}^{x}}+{{2}^{-x}}=4+2\cos (\alpha x) \) có 4038 nghiệm thực.

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *