Cho số phức z=a+bi (a,b∈R) thỏa mãn z+2+i−|z|(1+i)=0 và |z|>1. Tính P=a+b

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Ta có:  \( z+2+i-\left| z \right|(1+i)=0 \) \( \Leftrightarrow a+bi+2+i-\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}(1+i)=0 \)

 \( \Leftrightarrow a+2-\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+\left( b+1-\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \right)i=0 \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a+2-\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=0 \\  & b+1-\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=0 \\ \end{align} \right.\begin{matrix}   {} & \begin{matrix}   (1)  \\   (2)  \\\end{matrix}  \\\end{matrix} \)

Lấy (1) trừ (2) ta được:  \( a-b+1=0\Leftrightarrow b=a+1 \). Thế vào (1) ta được:

 \( a+2-\sqrt{{{a}^{2}}+{{(a+1)}^{2}}}=0 \) \( \Leftrightarrow a+2=\sqrt{2{{a}^{2}}+2a+1} \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a\ge -2 \\  & {{a}^{2}}+4a+4=2{{a}^{2}}+2a+1 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a\ge -2 \\ & {{a}^{2}}-2a-3=0 \\ \end{align} \right. \)

 \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a\ge -2 \\ \left [ \begin{matrix} a=3\text{ }(n) \\ a=-1\text{ }(n) \end{matrix} \right. \end{matrix}\right. \)

Với  \( a=3\Rightarrow b=4 \)

Với  \( a=-1\Rightarrow b=0 \)

Vì  \( \left| z \right|>1\Rightarrow z=3+4i\Rightarrow \left\{ \begin{align}& a=3 \\  & b=4 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Rightarrow P=a+b=3+4=7 \)