Cho số phức z1, z2 thỏa mãn |z1+1−i|=2 và z2=iz1. Tìm giá trị nhỏ nhất m của biểu thức |z1−z2|

Cho số phức z1, z2 thỏa mãn \( \left| {{z}_{1}}+1-i \right|=2 \) và  \( {{z}_{2}}=i{{z}_{1}} \). Tìm giá trị nhỏ nhất m của biểu thức  \( \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right| \)?

A. \( m=\sqrt{2}-1 \)

B.  \( m=2\sqrt{2} \)        

C.  \( m=2 \)                     

D.  \( m=2\sqrt{2}-2 \)

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Đặt  \( {{z}_{1}}=a+bi,\text{ }a,b\in \mathbb{R}\Rightarrow {{z}_{2}}=-b+ai \).

\( \Rightarrow {{z}_{1}}-{{z}_{2}}=(a+b)+(b-a)I \).

Nên \(\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{{{(a+b)}^{2}}+{{(b-a)}^{2}}}=2\left| {{z}_{1}} \right|\).

Ta lại có  \( 2=\left| {{z}_{1}}+1-i \right|\le \left| {{z}_{1}} \right|+\left| 1-i \right|=\left| {{z}_{1}} \right|+\sqrt{2} \).

\( \Rightarrow \left| {{z}_{1}} \right|\ge 2-\sqrt{2} \). Suy ra:  \( \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{2}.\left| {{z}_{1}} \right|\ge 2\sqrt{2}-2 \).

Dấu “=” xảy ra khi  \( \frac{a}{1}=\frac{b}{-1}<0 \).

Vậy  \( m={{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}_{\min }}=2\sqrt{2}-2 \).

Các bài toán mới!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *