Cho số phức z thỏa mãn |z|=2. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức w=3−2i+(2−i)z là một đường tròn. Tìm tọa độ tâm I của đường tròn đó

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Cách 1:

Đặt  \( w=x+yi  \). Ta có:  \( w=3-2i+(2-i)z\Leftrightarrow x+yi=3-2i+(2-i)z  \)

 \( \Leftrightarrow (2-i)z=(x-3)+(y+2)i\Leftrightarrow (4-{{i}^{2}})z=\left[ (x-3)+(y+2)i \right].(2+i) \)

 \( \Leftrightarrow z=\frac{2x-y-8}{5}+\frac{x+2y+1}{5}i  \)

Vì  \( \left| z \right|=2 \) nên  \( {{\left( \frac{2x-y-8}{5} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{x+2y+1}{5} \right)}^{2}}=4 \)

 \( \Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x+4y+13=20\Leftrightarrow {{(x-3)}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}=20 \)

Vậy tập hợp biểu diễn số phức w là đường tròn tâm  \( I(3;-2) \).

Cách 2:

Đặt  \( z=a+bi;\text{ }w=x+yi  \).

Vì  \( \left| z \right|=2 \) nên  \( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4 \).

Ta có:  \( w=3-2i+(2-i)z\Leftrightarrow x+yi+2i-3=(2-i)(a+bi) \)

 \( \Leftrightarrow (x-3)+(y+2)i=(2a+b)+(2b-a)i \)

 \( \Rightarrow {{(x-3)}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}={{(2a+b)}^{2}}+{{(2b-a)}^{2}} \)

 \( \Leftrightarrow {{(x-3)}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}=5({{a}^{2}}+{{b}^{2}})\Leftrightarrow {{(x-3)}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}=20 \)

Vậy tập hợp biểu diễn số phức w là đường tròn tâm  \( I(3;-2) \).