Cho số phức z thỏa mãn |z−6|+|z+6|=20. Gọi M, n lần lượt là môđun lớn nhất và nhỏ nhất của z. Tính M – n

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Gọi  \( z=x+yi\text{ }(x,y\in \mathbb{R}) \).

Theo giả thiết, ta có:  \( \left| z-6 \right|+\left| z+6 \right|=20 \)

 \( \Leftrightarrow \left| x-6+yi \right|+\left| x+6+yi \right|=20\Leftrightarrow \sqrt{{{(x-6)}^{2}}+{{y}^{2}}}+\sqrt{{{(x+6)}^{2}}+{{y}^{2}}}=20 \)   (*)

Gọi M(x;y), F₁(6;0) và F₂(-6;0).

Khi đó  \( (*)\Leftrightarrow M{{F}_{1}}+M{{F}_{2}}=20>{{F}_{1}}{{F}_{2}}=12 \) nên tập hợp các điểm E là đường elip (E) có hai tiêu điểm F₁ và F₂. Và độ dài trục lớn bằng 20.

Ta có:  \( c=6;\text{ }2a=20\Leftrightarrow a=10 \) và  \( {{b}^{2}}={{a}^{2}}-{{c}^{2}}=64\Rightarrow b=8 \).

Do đó, phương trình chính tắc của (E) là:  \( \frac{{{x}^{2}}}{100}+\frac{{{y}^{2}}}{64}=1 \).

Suy ra:  \( \max \left| z \right|=OA=O{A}’=10 \) khi  \( z=\pm 10 \) và  \( \min \left| z \right|=OB=O{B}’=8 \) khi  \( z=\pm 8i  \).

Vậy  \( M-n=2 \).