Cho số phức z thỏa mãn |z−3−4i|=√5. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=|z+2|^2−|z−i|^2. Môđun của số phức w=M+mi là

Cho số phức z thỏa mãn \( \left| z-3-4i \right|=\sqrt{5} \). Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức  \( P={{\left| z+2 \right|}^{2}}-{{\left| z-i \right|}^{2}} \). Môđun của số phức  \( w=M+mi \) là

A. \(\left| w \right|=3\sqrt{137}\)

B. \(\left| w \right|=\sqrt{1258}\)

C. \(\left| w \right|=2\sqrt{309}\)              

D. \(\left| w \right|=2\sqrt{314}\)

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Đặt  \( z=x+yi,\text{ }x,y\in \mathbb{R} \).

Ta có:  \( \left| z-3-4i \right|=\sqrt{5}\Leftrightarrow \left| (x-3)+(y-4)i \right|=\sqrt{5}\Leftrightarrow {{(x-3)}^{2}}+{{(y-4)}^{2}}=5 \) hay tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn (C) có tâm I(3;4), bán kính  \( r=\sqrt{5} \).

+ Khi đó:  \( P={{\left| z+2 \right|}^{2}}-{{\left| z-i \right|}^{2}}={{(x+2)}^{2}}+{{y}^{2}}-{{x}^{2}}-{{(y-1)}^{2}}=4x+2y+3 \)

\( \Rightarrow 4x+2y+3-P=0 \), kí hiệu là đường thẳng  \( \Delta \) .

+ Số phức z tồn tại khi và chỉ khi đường thẳng  \( \Delta \)  cắt đường tròn (C)

\( \Leftrightarrow d\left( I,\Delta  \right)\le r\Leftrightarrow \frac{\left| 23-P \right|}{2\sqrt{5}}\le \sqrt{5}\Leftrightarrow \left| P-23 \right|\le 10\Leftrightarrow 13\le P\le 33 \).

Suy ra  \( M=33 \) và  \( m=13 \) \( \Rightarrow w=33+13i \).

Vậy  \( \left| w \right|=\sqrt{1258} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *