Cho số phức z thỏa mãn \( \left| z-3-4i \right|=\sqrt{5} \). Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P={{\left| z+2 \right|}^{2}}-{{\left| z-i \right|}^{2}} \). Môđun của số phức \( w=M+mi \) là
A. \(\left| w \right|=3\sqrt{137}\)
B. \(\left| w \right|=\sqrt{1258}\)
C. \(\left| w \right|=2\sqrt{309}\)
D. \(\left| w \right|=2\sqrt{314}\)
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Đặt \( z=x+yi,\text{ }x,y\in \mathbb{R} \).
Ta có: \( \left| z-3-4i \right|=\sqrt{5}\Leftrightarrow \left| (x-3)+(y-4)i \right|=\sqrt{5}\Leftrightarrow {{(x-3)}^{2}}+{{(y-4)}^{2}}=5 \) hay tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn (C) có tâm I(3;4), bán kính \( r=\sqrt{5} \).
+ Khi đó: \( P={{\left| z+2 \right|}^{2}}-{{\left| z-i \right|}^{2}}={{(x+2)}^{2}}+{{y}^{2}}-{{x}^{2}}-{{(y-1)}^{2}}=4x+2y+3 \)
\( \Rightarrow 4x+2y+3-P=0 \), kí hiệu là đường thẳng \( \Delta \) .
+ Số phức z tồn tại khi và chỉ khi đường thẳng \( \Delta \) cắt đường tròn (C)
\( \Leftrightarrow d\left( I,\Delta \right)\le r\Leftrightarrow \frac{\left| 23-P \right|}{2\sqrt{5}}\le \sqrt{5}\Leftrightarrow \left| P-23 \right|\le 10\Leftrightarrow 13\le P\le 33 \).
Suy ra \( M=33 \) và \( m=13 \) \( \Rightarrow w=33+13i \).
Vậy \( \left| w \right|=\sqrt{1258} \).
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!