Cho số phức z thỏa mãn |z−2−2i|=1. Số phức z−i có modum nhỏ nhất là

Cho số phức z thỏa mãn \( \left| z-2-2i \right|=1 \). Số phức  \( z-i  \) có modum nhỏ nhất là:

A. \( \sqrt{5}-2 \)

B.  \( \sqrt{5}-1 \)             

C.  \( \sqrt{5}+1 \)           

D.  \( \sqrt{5}+2 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Cách 1:

Đặt  \( w=z-i\Rightarrow z=w+i  \)

Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn hình học của số phức w.

Từ giả thiết  \( \left| z-2-2i \right|=1 \) ta được:

 \( \left| w+i-2-2i \right|=1\Leftrightarrow \left| w-2-i \right|=1 \)

 \( \Leftrightarrow \left| (x-2)+(y-1)i \right|=1\Leftrightarrow {{(x-2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}=1 \)

Suy ra tập hợp những điểm M(x;y) biểu diễn cho số phức w là đường tròn (C) có tâm I(2;1), bán kính R = 1.

Giả sử OI cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B với A nằm trong đoạn thẳng OI.

Ta có  \( \left| w \right|=OM  \)

Mà  \( OM+MI\ge OI\Leftrightarrow OM+MI\ge OA+AI\Leftrightarrow OM\ge OA  \)

Nên  \( \left| w \right| \) nhỏ nhất bằng  \( OA=OI-IA=\sqrt{5}-1 \) khi  \( M\equiv A  \).

Cách 2:

Từ  \( \left| z-2-2i \right|=1\Rightarrow {{(a-2)}^{2}}+{{(b-2)}^{2}}=1 \) với  \( z=a+bi\text{ }(a,b\in \mathbb{R}) \)

 \( \left\{ \begin{align}  & a-2=\sin x \\  & b-2=\cos x \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a=2+\sin x \\  & b=2+\cos x \\ \end{align} \right. \)

Khi đó:  \( \left| z-i \right|=\left| 2+\sin x+(2+\cos x)i-i \right|=\sqrt{{{(2+\sin x)}^{2}}+{{(1+\cos x)}^{2}}} \)

 \( =\sqrt{6+(4\sin x+2\cos x)}\ge \sqrt{6-\sqrt{({{4}^{2}}+{{2}^{2}})({{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x)}}=\sqrt{6-2\sqrt{5}}=\sqrt{{{(\sqrt{5}-1)}^{2}}}=\sqrt{5}-1 \)

Nên  \( {{\left| z-i \right|}_{\min }}=\sqrt{5}-1 \)  khi  \( \left\{ \begin{align}  & 4\cos x=2\sin x \\  & 4\sin x+2\cos x=-2\sqrt{5} \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align} & \sin x=-\frac{2\sqrt{5}}{5} \\ & \cos x=-\frac{\sqrt{5}}{5} \\ \end{align} \right. \)

Ta được:  \( z=\left( 2-\frac{2\sqrt{5}}{5} \right)+\left( 2-\frac{\sqrt{5}}{5} \right)i  \)

Cách 3: Sử dụng bất đẳng thức:  \( \left| \left| {{z}_{1}} \right|-\left| {{z}_{2}} \right| \right|\le \left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|\le \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right| \)

 \( \left| z-i \right|=\left| (z-2-2i)+(2+i) \right|\ge \left| \left| z-2-2i \right|-\left| 2+i \right| \right|=\sqrt{5}-1 \)

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *