Cho số phức z thỏa mãn |z−2−2i|=1. Số phức z−i có modum nhỏ nhất là

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Cách 1:

Đặt  \( w=z-i\Rightarrow z=w+i  \)

Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn hình học của số phức w.

Từ giả thiết  \( \left| z-2-2i \right|=1 \) ta được:

 \( \left| w+i-2-2i \right|=1\Leftrightarrow \left| w-2-i \right|=1 \)

 \( \Leftrightarrow \left| (x-2)+(y-1)i \right|=1\Leftrightarrow {{(x-2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}=1 \)

Suy ra tập hợp những điểm M(x;y) biểu diễn cho số phức w là đường tròn (C) có tâm I(2;1), bán kính R = 1.

Giả sử OI cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B với A nằm trong đoạn thẳng OI.

Ta có  \( \left| w \right|=OM  \)

Mà  \( OM+MI\ge OI\Leftrightarrow OM+MI\ge OA+AI\Leftrightarrow OM\ge OA  \)

Nên  \( \left| w \right| \) nhỏ nhất bằng  \( OA=OI-IA=\sqrt{5}-1 \) khi  \( M\equiv A  \).

Cách 2:

Từ  \( \left| z-2-2i \right|=1\Rightarrow {{(a-2)}^{2}}+{{(b-2)}^{2}}=1 \) với  \( z=a+bi\text{ }(a,b\in \mathbb{R}) \)

 \( \left\{ \begin{align}  & a-2=\sin x \\  & b-2=\cos x \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a=2+\sin x \\  & b=2+\cos x \\ \end{align} \right. \)

Khi đó:  \( \left| z-i \right|=\left| 2+\sin x+(2+\cos x)i-i \right|=\sqrt{{{(2+\sin x)}^{2}}+{{(1+\cos x)}^{2}}} \)

 \( =\sqrt{6+(4\sin x+2\cos x)}\ge \sqrt{6-\sqrt{({{4}^{2}}+{{2}^{2}})({{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x)}}=\sqrt{6-2\sqrt{5}}=\sqrt{{{(\sqrt{5}-1)}^{2}}}=\sqrt{5}-1 \)

Nên  \( {{\left| z-i \right|}_{\min }}=\sqrt{5}-1 \)  khi  \( \left\{ \begin{align}  & 4\cos x=2\sin x \\  & 4\sin x+2\cos x=-2\sqrt{5} \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align} & \sin x=-\frac{2\sqrt{5}}{5} \\ & \cos x=-\frac{\sqrt{5}}{5} \\ \end{align} \right. \)

Ta được:  \( z=\left( 2-\frac{2\sqrt{5}}{5} \right)+\left( 2-\frac{\sqrt{5}}{5} \right)i  \)

Cách 3: Sử dụng bất đẳng thức:  \( \left| \left| {{z}_{1}} \right|-\left| {{z}_{2}} \right| \right|\le \left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|\le \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right| \)

 \( \left| z-i \right|=\left| (z-2-2i)+(2+i) \right|\ge \left| \left| z-2-2i \right|-\left| 2+i \right| \right|=\sqrt{5}-1 \)