Cho số phức z có \( \left| z \right|=1 \). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( P=\left| {{z}^{2}}-z \right|+\left| {{z}^{2}}+z+1 \right| \).
A. \( \frac{13}{4} \)
B. 3
C. \( \sqrt{3} \)
D. \( \frac{11}{4} \)
Hướng dẫn giải:
Chọn A
\( P=\left| {{z}^{2}}-z \right|+\left| {{z}^{2}}+z+1 \right|=\left| z \right|\left| z-1 \right|+\left| {{z}^{2}}+z+1 \right|=\left| z-1 \right|+\left| {{z}^{2}}+z+1 \right| \).
Do \( \left| z \right|=1 \) nên \( z=\cos x+i.\sin x \). Khi đó:
\( P=\left| z-1 \right|+\left| {{z}^{2}}+z+1 \right|=\left| \cos x+i.\sin x-1 \right|+\left| \cos 2x+i\sin 2x+\cos x+i\sin x+1 \right| \)
\(=\sqrt{{{(\cos x-1)}^{2}}+{{\sin }^{2}}x}+\sqrt{{{(\cos 2x+\cos x+1)}^{2}}+{{(\sin 2x+\sin x)}^{2}}}\)
\( =\sqrt{2-2\cos x}+\sqrt{3+4\cos x+2\cos 2x}=\sqrt{2-2\cos x}+\sqrt{4{{\cos }^{2}}x+4\cos x+1} \)
\( =\sqrt{2-2\cos x}+\left| 2\cos x+1 \right| \).
Đặt \( t=\cos x,t\in [-1;1] \). Xét hàm số \( y=\sqrt{2-2t}+\left| 2t+1 \right| \).
+ Với \( t\ge -\frac{1}{2} \) thì \( y=\sqrt{2-2t}+2t+1,\text{ }{y}’=\frac{-1}{\sqrt{2-2t}}+2 \).
\( {y}’=0\Leftrightarrow \frac{-1}{\sqrt{2-2t}}+2=0\Leftrightarrow t=\frac{7}{8} \).
\( y(1)=3;\text{ }y\left( \frac{7}{8} \right)=\frac{13}{4};\text{ }y\left( -\frac{1}{2} \right)=\sqrt{3} \).
+ Với \( t<-\frac{1}{2} thì y=\sqrt{2-2t}-2t-1,\text{ }{y}’=\frac{-1}{\sqrt{2-2t}}-2 \)
\( {y}’=0\Leftrightarrow \frac{-1}{\sqrt{2-2t}}-2=0\Leftrightarrow \sqrt{2-2t}=-\frac{1}{2} \) (phương trình vô nghiệm)
\( y(-1)=3,y\left( -\frac{1}{2} \right)=\sqrt{3} \).
Vậy \( \underset{[-1;1]}{\mathop{Max}}\,y=\frac{13}{4} \). Do đó giá trị lớn nhất của \( P=\left| {{z}^{2}}-z \right|+\left| {{z}^{2}}+z+1 \right| \) là \( \frac{13}{4} \).
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!