Cho số phức z có |z|=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=∣z^2−z∣+∣z^2+z+1∣

Hướng dẫn giải:

Chọn A

\( P=\left| {{z}^{2}}-z \right|+\left| {{z}^{2}}+z+1 \right|=\left| z \right|\left| z-1 \right|+\left| {{z}^{2}}+z+1 \right|=\left| z-1 \right|+\left| {{z}^{2}}+z+1 \right| \).

Do  \( \left| z \right|=1 \) nên  \( z=\cos x+i.\sin x \). Khi đó:

\( P=\left| z-1 \right|+\left| {{z}^{2}}+z+1 \right|=\left| \cos x+i.\sin x-1 \right|+\left| \cos 2x+i\sin 2x+\cos x+i\sin x+1 \right| \)

\(=\sqrt{{{(\cos x-1)}^{2}}+{{\sin }^{2}}x}+\sqrt{{{(\cos 2x+\cos x+1)}^{2}}+{{(\sin 2x+\sin x)}^{2}}}\)

\( =\sqrt{2-2\cos x}+\sqrt{3+4\cos x+2\cos 2x}=\sqrt{2-2\cos x}+\sqrt{4{{\cos }^{2}}x+4\cos x+1} \)

\( =\sqrt{2-2\cos x}+\left| 2\cos x+1 \right| \).

Đặt  \( t=\cos x,t\in [-1;1] \). Xét hàm số  \( y=\sqrt{2-2t}+\left| 2t+1 \right| \).

+ Với  \( t\ge -\frac{1}{2} \) thì  \( y=\sqrt{2-2t}+2t+1,\text{ }{y}’=\frac{-1}{\sqrt{2-2t}}+2 \).

\( {y}’=0\Leftrightarrow \frac{-1}{\sqrt{2-2t}}+2=0\Leftrightarrow t=\frac{7}{8} \).

\( y(1)=3;\text{ }y\left( \frac{7}{8} \right)=\frac{13}{4};\text{ }y\left( -\frac{1}{2} \right)=\sqrt{3} \).

+ Với  \( t<-\frac{1}{2} thì y=\sqrt{2-2t}-2t-1,\text{ }{y}’=\frac{-1}{\sqrt{2-2t}}-2 \)

\( {y}’=0\Leftrightarrow \frac{-1}{\sqrt{2-2t}}-2=0\Leftrightarrow \sqrt{2-2t}=-\frac{1}{2} \) (phương trình vô nghiệm)

\( y(-1)=3,y\left( -\frac{1}{2} \right)=\sqrt{3} \).

Vậy  \( \underset{[-1;1]}{\mathop{Max}}\,y=\frac{13}{4} \). Do đó giá trị lớn nhất của  \( P=\left| {{z}^{2}}-z \right|+\left| {{z}^{2}}+z+1 \right| \) là  \( \frac{13}{4} \).