Cho S.ABCD có AB=5√3, BC=3√3, góc BADˆ=BCDˆ=900, SA = 9 và SA vuông góc với đáy. Biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng 66√3

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Ta có:  \( {{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}.SA.{{S}_{ABCD}} \) \( \Leftrightarrow 66\sqrt{3}=\frac{1}{3}.9.{{S}_{ABCD}}\Leftrightarrow {{S}_{ABCD}}=44\sqrt{3} \)

Suy ra:  \( \frac{1}{2}AB.AD+\frac{1}{2}BC.CD=44\sqrt{3} \) \( \Leftrightarrow 5AD+3CD=44 \) (1)

Áp dụng định lí Pitago trong 2 tam giác vuông ABD và BCD, ta có:

 \( A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}=B{{D}^{2}}=B{{C}^{2}}+C{{D}^{2}} \) \( \Leftrightarrow C{{D}^{2}}-A{{D}^{2}}=48 \) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \( \left[ \begin{align} & AD=4 \\  & AD=\frac{47}{2} \\ \end{align} \right. \)

 \( AD=\frac{47}{2} \) không thỏa mãn do từ (1) ta có:  \( AD<\frac{44}{5}\Rightarrow AD=4 \).

Trong tam giác ABD, dựng  \( AH\bot BD  \) lại có  \( SA\bot BD\Rightarrow BD\bot SH  \)

Vậy góc giữa (SBD) và đáy là góc  \( \widehat{SHA} \).

Dễ tính:  \( BD=\sqrt{91} \),  \( AH=\frac{AB.AD}{BD}=\frac{20\sqrt{273}}{91} \),  \( \cot \widehat{SHA}=\frac{AH}{SA}=\frac{20\sqrt{273}}{819} \).