Cho phương trình x^2−2(m+1)x+2m+10=0

Cho phương trình \( {{x}^{2}}-2(m+1)x+2m+10=0 \)  (1) với m là tham số.

a) Giải phương trình khi \( m=-4 \).

b) Tìm m để phương trình có nghiệm.

c) Giả sử phương trình có nghiệm \( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+8{{x}_{1}}{{x}_{2}} \).

Hướng dẫn giải:

a) Khi \( m=-4 \), phương trình (1) trở thành: \( {{x}^{2}}+6x+2=0 \).

Ta có:  \( {\Delta }’={{3}^{2}}-2.1.2=5>0 \).

 \( \Rightarrow  \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt  \( {{x}_{1}}=-3+\sqrt{5};\text{ }{{x}_{2}}=-3-\sqrt{5} \).

Vậy với  \( m=-4 \) thì phương trình có tập nghiệm là  \( S=\left\{ -3+\sqrt{5};-3-\sqrt{5} \right\} \).

b) Xét phương trình (1) có:

 \({\Delta }’={{\left[ -(m+1) \right]}^{2}}-1.(2m+10)={{m}^{2}}+2m+1-2m-10={{m}^{2}}-9\).

Phương trình (1) có nghiệm  \( \Leftrightarrow {\Delta }’\ge 0\Leftrightarrow {{m}^{2}}\ge 9\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m\ge 3 \\  & m\le -3 \\ \end{align} \right. \).

Vậy (1) có nghiệm khi  \( \left[ \begin{align}  & m\ge 3 \\  & m\le -3 \\ \end{align} \right. \).

c) Với \( \left[ \begin{align} & m\ge 3 \\ & m\le -3 \\ \end{align} \right. \) thì phương trình (1) có nghiệm \( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \).

Hệ thức Viet:  \( \left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2(m+1) \\  & {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=2m+10 \\ \end{align} \right. \).

Ta có:  \( P=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+8{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}+6{{x}_{1}}{{x}_{2}} \).

 \( \Rightarrow P={{\left[ 2(m+1) \right]}^{2}}+6(2m+10)=4{{m}^{2}}+20m+64={{(2m+5)}^{2}}+39 \).

Sai lầm mắc phải:

Vì  \( {{(2m+5)}^{2}}\ge 0\Rightarrow P\ge 39 \).

Do đó:  \( {{P}_{\min }}=39\Leftrightarrow {{(2m+5)}^{2}}=0\Leftrightarrow m=-\frac{5}{2} \) (không thỏa mãn).

Vậy không có giá trị của m để P nhỏ nhất.

Lời giải đúng:

Khi  \( m\le -3\Rightarrow 2m+5\le -1\Rightarrow {{(2m+5)}^{2}}\ge 1\Rightarrow P={{(2m+5)}^{2}}+39\ge 40 \).

Khi  \( m\ge 3\Rightarrow 2m+5\ge 11\Rightarrow {{(2m+5)}^{2}}\ge 121\Rightarrow P={{(2m+5)}^{2}}+39\ge 160 \).

Như vậy với mọi m thỏa mãn điều kiện, ta có:  \( P\ge 40 \)

 \( \Rightarrow {{P}_{\min }}=40 \) khi  \( m=-3 \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *