Cho phương trình logmx−5(x^2−6x+12)=log√mx−5√x+2 , gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m∈Z

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Điều kiện: \( \left\{ \begin{align}& x+2 > 0 \\ & 0 < mx-5\ne 1 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x >-2 \\ & 5 < mx \ne 6 \\ \end{align} \right. \)

Với điều kiện trên, phương trình  \( {{\log }_{mx-5}}\left( {{x}^{2}}-6x+12 \right)={{\log }_{\sqrt{mx-5}}}\sqrt{x+2} \) (*)

 \( \Leftrightarrow {{\log }_{mx-5}}\left( {{x}^{2}}-6x+12 \right)={{\log }_{mx-5}}\left( x+2 \right) \)

\( \Leftrightarrow {{x}^{2}}-6x+12=x+2\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=2 \\ & x=5 \\ \end{align} \right. \)

Với x = 2 là nghiệm phương trình (*) khi  \( 5<2m\ne 6\Leftrightarrow \frac{5}{2}<m\ne 3 \) vì  \( m\in \mathbb{Z}\Rightarrow \left\{ \begin{align}& m\ge 4 \\ & m\in \mathbb{Z} \\ \end{align} \right. \).

Với x = 5 là nghiệm phương trình (*) khi  \( 5<5m\ne 6\Leftrightarrow 1<m\ne \frac{6}{5} \) vì  \( m\in \mathbb{Z}\Rightarrow \left\{ \begin{align} & m\ge 2 \\  & m\in \mathbb{Z} \\ \end{align} \right. \).

+ Phương trình:  \( {{\log }_{mx-5}}\left( {{x}^{2}}-6x+12 \right)={{\log }_{\sqrt{mx-5}}}\sqrt{x+2} \) có nghiệm duy nhất khi m = 2 hoặc m = 3.

Thử lại 

 \( m=2 \):  \( {{\log }_{2x-5}}\left( {{x}^{2}}-6x+12 \right)={{\log }_{\sqrt{2x-5}}}\sqrt{x+2} \)\(\Leftrightarrow {{\log }_{2x-5}}\left( {{x}^{2}}-6x+12 \right)={{\log }_{2x-5}}\left( x+2 \right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{x}^{2}}-6x+12=x+2 \\ & x+2>0 \\ & 0<2x-5\ne 1 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=5 \) \( m=3: {{\log }_{3x-5}}\left( {{x}^{2}}-6x+12 \right)={{\log }_{\sqrt{3x-5}}}\sqrt{x+2} \) \(\Leftrightarrow {{\log }_{3x-5}}\left( {{x}^{2}}-6x+12 \right)={{\log }_{3x-5}}\left( x+2 \right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}-6x+12=x+2 \\ & x+2>0 \\  & 0<3x-5\ne 1 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=5 \)

Vậy có hai giá trị  \( m\in \mathbb{Z} \) thỏa mãn yêu cầu bài toán.