(THPTQG – 2019 – 103) Cho phương trình \( {{\log }_{9}}{{x}^{2}}-{{\log }_{3}}\left( 5x-1 \right)=-{{\log }_{3}}m \) (m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm?
A. 4
B. 6
C. Vô số
D. 5
Hướng dẫn giải:
Đáp án A.
Điều kiện: \( \left\{ \begin{align} & x>\frac{1}{5} \\ & m>0 \\ \end{align} \right. \)
Xét phương trình: \( {{\log }_{9}}{{x}^{2}}-{{\log }_{3}}\left( 5x-1 \right)=-{{\log }_{3}}m \) (1)
(1 \( )\Leftrightarrow {{\log }_{3}}x-{{\log }_{3}}\left( 5x-1 \right)=-{{\log }_{3}}m \) \( \Leftrightarrow {{\log }_{3}}\frac{5x-1}{x}={{\log }_{3}}m\Leftrightarrow \frac{5x-1}{x}=m \)
Cách 1:
\( \Leftrightarrow m=5-\frac{1}{x} \) (2)
Xét \( f(x)=5-\frac{1}{x} \) trên khoảng \( \left( \frac{1}{5};+\infty \right) \).
Có \( {f}'(x)=\frac{1}{{{x}^{2}}}>0,\forall x\in \left( \frac{1}{5};+\infty \right) \)
Ta có bảng biến thiên của hàm số f(x):
Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ phương trình (2) có nghiệm \( x>\frac{1}{5} \).
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi \( 0<m<5 \).
Mà \( m\in \mathbb{Z} \) và \( m>0 \) nên \( m\in \left\{ 1;2;3;4 \right\} \).
Vậy có 4 giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm.
Cách 2:
\( \Leftrightarrow \left( 5-m \right)x=1 \) (2)
Với m = 5, phương trình (2) thành 0.x = 1 (vô nghiệm)
Với \( m\ne 5 \), (2) \( \Leftrightarrow x=\frac{1}{5-m} \)
Xét \( x>\frac{1}{5}\Leftrightarrow ~\frac{1}{5-m}>\frac{1}{5} \) \( \Leftrightarrow \frac{m}{5(5-m)}>0\Leftrightarrow 0<m<5 \)
Mà \( m\in \mathbb{Z} \) nên \( m\in \left\{ 1;2;3;4 \right\} \)
Vậy có 4 giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm.
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!