Cho phương trình log9x2−log3(5x−1)=−log3m (m là tham số thực)

(THPTQG – 2019 – 103) Cho phương trình \( {{\log }_{9}}{{x}^{2}}-{{\log }_{3}}\left( 5x-1 \right)=-{{\log }_{3}}m  \) (m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm?

A. 4

B. 6                                   

C. Vô số                            

D. 5

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Điều kiện:  \( \left\{ \begin{align} & x>\frac{1}{5} \\  & m>0 \\ \end{align} \right. \)

Xét phương trình:  \( {{\log }_{9}}{{x}^{2}}-{{\log }_{3}}\left( 5x-1 \right)=-{{\log }_{3}}m  \) (1)

 (1 \( )\Leftrightarrow {{\log }_{3}}x-{{\log }_{3}}\left( 5x-1 \right)=-{{\log }_{3}}m \)   \( \Leftrightarrow {{\log }_{3}}\frac{5x-1}{x}={{\log }_{3}}m\Leftrightarrow \frac{5x-1}{x}=m  \)

Cách 1:

 \( \Leftrightarrow m=5-\frac{1}{x} \) (2)

Xét  \( f(x)=5-\frac{1}{x} \) trên khoảng  \( \left( \frac{1}{5};+\infty  \right) \).

Có  \( {f}'(x)=\frac{1}{{{x}^{2}}}>0,\forall x\in \left( \frac{1}{5};+\infty  \right) \)

Ta có bảng biến thiên của hàm số f(x):

Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ phương trình (2) có nghiệm  \( x>\frac{1}{5} \).

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi  \( 0<m<5 \).

Mà  \( m\in \mathbb{Z} \) và  \( m>0 \) nên  \( m\in \left\{ 1;2;3;4 \right\} \).

Vậy có 4 giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm.

Cách 2:

 \( \Leftrightarrow \left( 5-m \right)x=1 \) (2)

Với m = 5, phương trình (2) thành 0.x = 1 (vô nghiệm)

Với  \( m\ne 5 \), (2) \( \Leftrightarrow x=\frac{1}{5-m} \)

Xét  \( x>\frac{1}{5}\Leftrightarrow ~\frac{1}{5-m}>\frac{1}{5} \) \( \Leftrightarrow \frac{m}{5(5-m)}>0\Leftrightarrow 0<m<5 \)

Mà  \( m\in \mathbb{Z} \) nên  \( m\in \left\{ 1;2;3;4 \right\} \)

Vậy có 4 giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm.

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *