Cho phương trình log9x2−4log3(4x−1)=−log3m (m là tham số thực)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Điều kiện:  \( x>\frac{1}{4} \).

Phương trình đã cho  \( \Leftrightarrow {{\log }_{3}}x-4{{\log }_{3}}\left( 4x-1 \right)=-{{\log }_{3}}m  \)

 \( \Leftrightarrow {{\log }_{3}}x-{{\log }_{3}}{{\left( 4x-1 \right)}^{4}}={{\log }_{3}}\frac{1}{m} \) \( \Leftrightarrow {{\log }_{3}}\frac{x}{{{\left( 4x-1 \right)}^{4}}}={{\log }_{3}}\frac{1}{m}\Leftrightarrow m=\frac{{{\left( 4x-1 \right)}^{4}}}{x}=f(x) \)

Xét hàm số  \( f(x)=\frac{{{\left( 4x-1 \right)}^{4}}}{x} \) có  \( {f}'(x)=\frac{{{\left( 4x-1 \right)}^{3}}\left( 12x+1 \right)}{{{x}^{2}}}>0,\forall x>\frac{1}{4} \).

Bảng biến thiên của f(x):

Do đó phương trình có nghiệm khi m > 0.

Vậy có vô số giá trị nguyên của m.