Cho phương trình: (cosx+1)(cos2x−mcosx)=msin^2x

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow (\cos x+1)(2{{\cos }^{2}}x-1-m\cos x)=m(1-{{\cos }^{2}}x) \)

 \( \Leftrightarrow (\cos x+1)[2{{\cos }^{2}}x-1-m\cos x-m(1-\cos x)]=0 \)

 \( \Leftrightarrow (\cos x+1)(2{{\cos }^{2}}x-1-m)=0 \).

a) Khi \( m=-2 \) thì (*) thành:

 \( (\cos x+1)(2{{\cos }^{2}}x+1)=0\Leftrightarrow \cos x=-1\Leftrightarrow x=\pi +k2\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

b) Khi \( x\in \left[ 0;\frac{2\pi }{3} \right] \) thì \( \cos x=t\in \left[ -\frac{1}{2};1 \right] \).

Nhận xét răng với mỗi t trên  \( \left[ -\frac{1}{2};1 \right] \) ta chỉ tìm được duy nhất một x trên  \( \left[ 0;\frac{2\pi }{3} \right] \).

Yêu cầu bài toán  \( \Leftrightarrow 2{{t}^{2}}-1-m=0 \) có đúng hai nghiệm trên  \( \left[ -\frac{1}{2};1 \right] \).

Xét  \( y=2{{t}^{2}}-1\text{ }(P) \) và  \( y=m\text{ }(d) \).

Ta có:  \( {y}’=4t\Rightarrow {y}’=0\Leftrightarrow t=0 \).

Bảng biến thiên:

Vậy (*) có đúng hai nghiệm trên  \( \left[ 0;\frac{2\pi }{3} \right] \) \( \Leftrightarrow (d) \) cắt (P) tại hai điểm phân biệt trên  \( \left[ -\frac{1}{2};1 \right] \)

 \( \Leftrightarrow -1<m\le \frac{1}{2} \).