Cho phương trình: cos2x−(2m+1)cosx+m+1=0

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow 2{{\cos }^{2}}x-(2m+1)\cos x+m=0 \)

Đặt  \( t=\cos x \) (điều kiện:  \( \left| t \right|\le 1 \)).

Khi đó, phương trình trở thành:  \( 2{{t}^{2}}-(2m+1)t+m=0 \)

 \( \Leftrightarrow (2t-1)(t-m)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=\frac{1}{2} \\  & t=m \\ \end{align} \right. \).

a) Khi \( m=\frac{3}{2} \), phương trình thành: \( \left[ \begin{align}  & \cos x=\frac{1}{2}\text{ }(n) \\  & \cos x=\frac{3}{2}\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \).

 \( \Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

b) Khi \( x\in \left( \frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2} \right) \) thì \( \cos x=t\in [-1;0) \).

Do  \( t=\frac{1}{2}\notin [-1;0] \) nên (*) có nghiệm trên  \( \left( \frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2} \right) \) \( \Leftrightarrow m\in [-1;0) \)