Cho phương trình az^2+bz+c=0, với a,b,c∈R,a≠0 có các nghiệm z1,z2 đều không là số thực. Tính P=|z1+z2|^2+|z1−z2|^2 theo a, b, c

Cho phương trình \( a{{z}^{2}}+bz+c=0 \), với  \( a,b,c\in \mathbb{R},a\ne 0 \) có các nghiệm  \( {{z}_{1}},{{z}_{2}} \) đều không là số thực. Tính  \( P={{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}} \) theo a, b, c.

A. \(P=\frac{{{b}^{2}}-2ac}{{{a}^{2}}}\)

B. \(P=\frac{2c}{a}\)

C. \(P=\frac{4c}{a}\)            

D. \(P=\frac{2{{b}^{2}}-4ac}{{{a}^{2}}}\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Cách 1: Tự luận.

Ta có phương trình  \( a{{z}^{2}}+bz+c=0\) có các nghiệm  \( {{z}_{1}},{{z}_{2}} \) đều không là số thực, do đó  \( \Delta ={{b}^{2}}- 4ac<0 \). Ta có:  \( \Delta =\left( 4ac-{{b}^{2}} \right){{i}^{2}} \).

 \( \left\{ \begin{align}  & {{z}_{1}}=\frac{-b+i\sqrt{4ac-{{b}^{2}}}}{2a} \\  & {{z}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{4ac-{{b}^{2}}}}{2a} \\ \end{align} \right. \)

Khi đó:  \( \left\{ \begin{align}  & {{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}=\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}} \\ & {{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=\frac{4ac-{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}} \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow P={{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=\frac{4c}{a} \).

Vậy  \( P=\frac{4c}{a} \).

Cách 2: Trắc nghiệm.

Cho  \( a=1,b=0,c=1 \), ta có phương trình  \( {{z}^{2}}+1=0 \) có 2 nghiệm phức là \( {{z}_{1}}=i,{{z}_{2}}=-i \).

Khi đó: \( \Rightarrow P={{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=4 \).

Thế  \( a=1,b=0,c=1 \) lên các đáp án, ta thấy chỉ có đáp án C cho kết quả giống.

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *