Cho phương trình 9^x−(2m+3).3^x+81=0 (m là tham số thực). Giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x^21+x^22=10

Cho phương trình \( {{9}^{x}}-(2m+3){{.3}^{x}}+81=0 \) (m là tham số thực). Giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn  \( x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=10 \) thuộc khoảng nào sau đây?

A. (5;10)

B. (0;5)

C. (10;15)                        

D.  \( \left( 15;+\infty  \right) \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

 \( {{9}^{x}}-(2m+3){{.3}^{x}}+81=0 \) (1)

 \( \Leftrightarrow {{\left( {{3}^{x}} \right)}^{2}}-\left( 2m+3 \right){{.3}^{x}}+81=0 \)

Đặt  \( t={{3}^{x}}(t>0) \)

Phương trình trở thành:  \( {{t}^{2}}-(2m+3)t+81=0 \) (2)

Ta có:  \( \Delta ={{\left( 2m+3 \right)}^{2}}-4.81={{\left( 2m+3 \right)}^{2}}-324 \)

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt dương

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& \Delta >0 \\ & S>0 \\  & P>0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{\left( 2m+3 \right)}^{2}}-324>0 \\ & 2m+3>0 \\ & 81>0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \begin{cases} \left[\begin{array}{l} 2m+3>18 \\ 2m+3<-18 \end{array}\right.  \\ m>-\frac{3}{2} \end{cases} \) \( \Leftrightarrow \begin{cases} \left[\begin{array}{l} m>\frac{15}{2}\\ m<-\frac{21}{2} \end{array}\right.  \\ m>-\frac{3}{2} \end{cases} \)

 \( \Leftrightarrow m>\frac{15}{2} \)

Áp dụng hệ thức Viet: \( \left\{ \begin{align}& {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=2m+3 \\ & {{t}_{1}}.{{t}_{2}}=81 \\ \end{align} \right. \)

Vì  \( {{t}_{1}}.{{t}_{2}}=81\Leftrightarrow {{3}^{{{x}_{1}}}}{{.3}^{{{x}_{2}}}}={{3}^{4}}\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=4 \)

Do đó: \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=10\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=10\)\(\Leftrightarrow {{4}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=10\Leftrightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}=3\)

Xét hệ phương trình: \( \left\{ \begin{align}& {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=3 \\ & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=4 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}=1 \\ & {{x}_{2}}=3 \\ \end{align} \right. \)\( \Rightarrow \left\{ \begin{align} & {{t}_{1}}=3 \\  & {{t}_{2}}=27 \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=30\)

 \( \Rightarrow 2m+3=30\Leftrightarrow m=\frac{27}{2}\text{(nhận)} \)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *