Cho phương trình \( {{9}^{x}}-(2m+3){{.3}^{x}}+81=0 \) (m là tham số thực). Giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn \( x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=10 \) thuộc khoảng nào sau đây?
A. (5;10)
B. (0;5)
C. (10;15)
D. \( \left( 15;+\infty \right) \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án C.
\( {{9}^{x}}-(2m+3){{.3}^{x}}+81=0 \) (1)
\( \Leftrightarrow {{\left( {{3}^{x}} \right)}^{2}}-\left( 2m+3 \right){{.3}^{x}}+81=0 \)
Đặt \( t={{3}^{x}}(t>0) \)
Phương trình trở thành: \( {{t}^{2}}-(2m+3)t+81=0 \) (2)
Ta có: \( \Delta ={{\left( 2m+3 \right)}^{2}}-4.81={{\left( 2m+3 \right)}^{2}}-324 \)
Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt dương
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& \Delta >0 \\ & S>0 \\ & P>0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{\left( 2m+3 \right)}^{2}}-324>0 \\ & 2m+3>0 \\ & 81>0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \begin{cases} \left[\begin{array}{l} 2m+3>18 \\ 2m+3<-18 \end{array}\right. \\ m>-\frac{3}{2} \end{cases} \) \( \Leftrightarrow \begin{cases} \left[\begin{array}{l} m>\frac{15}{2}\\ m<-\frac{21}{2} \end{array}\right. \\ m>-\frac{3}{2} \end{cases} \)
\( \Leftrightarrow m>\frac{15}{2} \)
Áp dụng hệ thức Viet: \( \left\{ \begin{align}& {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=2m+3 \\ & {{t}_{1}}.{{t}_{2}}=81 \\ \end{align} \right. \)
Vì \( {{t}_{1}}.{{t}_{2}}=81\Leftrightarrow {{3}^{{{x}_{1}}}}{{.3}^{{{x}_{2}}}}={{3}^{4}}\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=4 \)
Do đó: \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=10\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=10\)\(\Leftrightarrow {{4}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=10\Leftrightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}=3\)
Xét hệ phương trình: \( \left\{ \begin{align}& {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=3 \\ & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=4 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}=1 \\ & {{x}_{2}}=3 \\ \end{align} \right. \)\( \Rightarrow \left\{ \begin{align} & {{t}_{1}}=3 \\ & {{t}_{2}}=27 \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=30\)
\( \Rightarrow 2m+3=30\Leftrightarrow m=\frac{27}{2}\text{(nhận)} \)
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!