Cho phương trình 9^x−(2m+3).3^x+81=0 (m là tham số thực). Giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x^21+x^22=10

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

 \( {{9}^{x}}-(2m+3){{.3}^{x}}+81=0 \) (1)

 \( \Leftrightarrow {{\left( {{3}^{x}} \right)}^{2}}-\left( 2m+3 \right){{.3}^{x}}+81=0 \)

Đặt  \( t={{3}^{x}}(t>0) \)

Phương trình trở thành:  \( {{t}^{2}}-(2m+3)t+81=0 \) (2)

Ta có:  \( \Delta ={{\left( 2m+3 \right)}^{2}}-4.81={{\left( 2m+3 \right)}^{2}}-324 \)

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt dương

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& \Delta >0 \\ & S>0 \\  & P>0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{\left( 2m+3 \right)}^{2}}-324>0 \\ & 2m+3>0 \\ & 81>0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \begin{cases} \left[\begin{array}{l} 2m+3>18 \\ 2m+3<-18 \end{array}\right.  \\ m>-\frac{3}{2} \end{cases} \) \( \Leftrightarrow \begin{cases} \left[\begin{array}{l} m>\frac{15}{2}\\ m<-\frac{21}{2} \end{array}\right.  \\ m>-\frac{3}{2} \end{cases} \)

 \( \Leftrightarrow m>\frac{15}{2} \)

Áp dụng hệ thức Viet: \( \left\{ \begin{align}& {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=2m+3 \\ & {{t}_{1}}.{{t}_{2}}=81 \\ \end{align} \right. \)

Vì  \( {{t}_{1}}.{{t}_{2}}=81\Leftrightarrow {{3}^{{{x}_{1}}}}{{.3}^{{{x}_{2}}}}={{3}^{4}}\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=4 \)

Do đó: \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=10\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=10\)\(\Leftrightarrow {{4}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=10\Leftrightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}=3\)

Xét hệ phương trình: \( \left\{ \begin{align}& {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=3 \\ & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=4 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}=1 \\ & {{x}_{2}}=3 \\ \end{align} \right. \)\( \Rightarrow \left\{ \begin{align} & {{t}_{1}}=3 \\  & {{t}_{2}}=27 \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=30\)

 \( \Rightarrow 2m+3=30\Leftrightarrow m=\frac{27}{2}\text{(nhận)} \)