Cho phương trình: 4cos^5x.sinx−4sin^5xcosx=sin^24x+m

Hướng dẫn giải:

  \( (1)\Leftrightarrow 4\sin x\cos x({{\cos }^{4}}x-{{\sin }^{4}}x)={{\sin }^{2}}4x+m \)

 \( \Leftrightarrow 2\sin 2x({{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x)({{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x)={{\sin }^{2}}4x+m \)

 \( \Leftrightarrow 2\sin 2x.\cos 2x={{\sin }^{2}}4x+m\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}4x-\sin 4x+m=0 \)   (2)

a) \( x=\pi \) là nghiệm của (1) \( \Rightarrow {{\sin }^{2}}4\pi -\sin 4\pi +m=0\Rightarrow m=0 \).

Lúc đó  \( (1)\Leftrightarrow \sin 4x(1-\sin 4x)=0\Leftrightarrow \sin 4x=0\vee \sin 4x=1 \)

 \( \Leftrightarrow 4x=k\pi \vee 4x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \Leftrightarrow x=\frac{k\pi }{4}\vee x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2},\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

b) \( {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2<0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & t={{x}^{2}}\ge 0 \\  & {{t}^{2}}-3t+2<0 \\ \end{align} \right. \)

 \(  \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & t={{x}^{2}}\ge 0 \\ & 1 < t<2 \\ \end{align} \right. \)   \( \Leftrightarrow 1 < \left| x \right| < \sqrt{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& -\sqrt{2} < x<-1 \\  & 1 < x <\sqrt{2} \\ \end{align} \right. \) .

 \( x=-\frac{\pi }{8} \) thì  \( \sin 4x=\sin \left( -\frac{\pi }{2} \right)=-1 \).

 \( x=-\frac{\pi }{8} \) là nghiệm của  \( (1)\Rightarrow 1+1+m=0\Leftrightarrow m=-2 \).

Lúc đó (2) thành:  \( {{\sin }^{2}}4x-\sin 4x-2=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \sin 4x=-1\text{ }(n) \\  & \sin 4x=2\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \sin 4x=-1 \)

\(\Leftrightarrow 4x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2}\).

Kết hợp với điều kiện (*) suy ra  \( k=1 \).

Vậy (1) có nghiệm \(x=-\frac{\pi }{8}+\frac{\pi }{2}=\frac{3\pi }{8}\) thỏa {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2<0.