Cho phương trình: \( 4{{\cos }^{5}}x.sinx-4{{\sin }^{5}}xcosx={{\sin }^{2}}4x+m \) (1)
a) Biết rằng \( x=\pi \) là nghiệm của (1). Hãy giải (1) trong trường hợp đó.
b) Cho biết \( x=-\frac{\pi }{8} \) là một nghiệm của (1). Hãy tìm tất cả nghiệm của (1) thỏa \( {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2<0 \).
Hướng dẫn giải:
\( (1)\Leftrightarrow 4\sin x\cos x({{\cos }^{4}}x-{{\sin }^{4}}x)={{\sin }^{2}}4x+m \)
\( \Leftrightarrow 2\sin 2x({{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x)({{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x)={{\sin }^{2}}4x+m \)
\( \Leftrightarrow 2\sin 2x.\cos 2x={{\sin }^{2}}4x+m\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}4x-\sin 4x+m=0 \) (2)
a) \( x=\pi \) là nghiệm của (1) \( \Rightarrow {{\sin }^{2}}4\pi -\sin 4\pi +m=0\Rightarrow m=0 \).
Lúc đó \( (1)\Leftrightarrow \sin 4x(1-\sin 4x)=0\Leftrightarrow \sin 4x=0\vee \sin 4x=1 \)
\( \Leftrightarrow 4x=k\pi \vee 4x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \Leftrightarrow x=\frac{k\pi }{4}\vee x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2},\text{ }k\in \mathbb{Z} \).
b) \( {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2<0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & t={{x}^{2}}\ge 0 \\ & {{t}^{2}}-3t+2<0 \\ \end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & t={{x}^{2}}\ge 0 \\ & 1 < t<2 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow 1 < \left| x \right| < \sqrt{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& -\sqrt{2} < x<-1 \\ & 1 < x <\sqrt{2} \\ \end{align} \right. \) .
\( x=-\frac{\pi }{8} \) thì \( \sin 4x=\sin \left( -\frac{\pi }{2} \right)=-1 \).
\( x=-\frac{\pi }{8} \) là nghiệm của \( (1)\Rightarrow 1+1+m=0\Leftrightarrow m=-2 \).
Lúc đó (2) thành: \( {{\sin }^{2}}4x-\sin 4x-2=0 \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sin 4x=-1\text{ }(n) \\ & \sin 4x=2\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \sin 4x=-1 \)
\(\Leftrightarrow 4x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2}\).
Kết hợp với điều kiện (*) suy ra \( k=1 \).
Vậy (1) có nghiệm \(x=-\frac{\pi }{8}+\frac{\pi }{2}=\frac{3\pi }{8}\) thỏa {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2<0.
Các bài toán liên quan
Các bài toán cùng chủ đề!
Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!
- Nhận dạy môn phổ thông: Toán học, Vật lý, Hóa học, Tiếng Anh các lớp 10, 11, 12, LTDH
- Cơ sở 1: Khu đô thị Garden, Thị trấn Đức Tài, Huyện Đức Linh, Tỉnh Bình Thuận
- Cơ sở 2: Số 103/6, Hẻm 528TC, Đường Trường Chinh, Kp. 7, P. Tân Hưng Thuận, Quận 12, Tp. HCM
- Cơ sở 3: số 33/66, hẻm 33, đường số 5, P. Bình Hưng Hòa, Quận Tân Bình, Tp. HCM
- Hotline: 094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)
- Với đội ngũ gia sư dạy kèm gồm giáo viên và sinh viên ở các trường uy tín nhất, chúng tôi nhận dạy kèm tại nhà và dạy kèm online 1 kèm 1.
- Nhận dạy kèm môn phổ thông: Toán học, Vật lý, Hóa học, Tiếng Anh, Sinh học, Văn học, … các lớp 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, LTDH và các môn ĐH–CĐ: Toán cao cấp, Xác suất thống kê...
- Nhận dạy kèm Tiếng Anh (Giao tiếp, TOEIC, TOEFL, IELTS, ...) - Tiếng Hoa - Tiếng Hàn - Tiếng Nhật (Giao tiếp, chứng chỉ N5, N4, N3, N2, N1), Tin Học (Văn phòng, Đồ họa, Lập trình,...) cho các học viên ở mọi lứa tuổi.
- Nhận dạy kèm các môn năng khiếu: Cờ Vua, Cờ Tướng, Đàn Ghitar, Đàn Dương Cầm,…
- Đ/C Trung Tâm: Số 103/6, Hẻm 528TC, Đường Trường Chinh, Kp. 7, P. Tân Hưng Thuận, Quận 12, Tp. HCM
- Hotline: 094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)
No comment yet, add your voice below!