Cho phương trình 2^x=√(m.2^x.cos(πx)-4), với m là tham số. Gọi mO là giá trị của m sao cho phương trình trên có đúng một nghiệm thực

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Phương trình tương đương ${{4}^{x}}=m{{.2}^{x}}.\cos (\pi x)-4$ $\Leftrightarrow {{2}^{x}}+{{2}^{2-x}}=m.\cos (\pi x)$

Điều kiện cần: nếu xO là một nghiệm của phương trình thì $2-{{x}_{0}}$ cũng là nghiệm. Vì phương trình có nghiệm duy nhất nên xO = 1.

Thay vào phương trình ta có: $m=-4$

Điều kiện đủ:

Với $m=-4$, ta có: \({{4}^{x}}+{{4.2}^{x}}.\cos (\pi x)+4=0\)\(\Leftrightarrow {{\left[ {{2}^{x}}+2\cos (\pi x) \right]}^{2}}+4{{\sin }^{2}}(\pi x)=0\)

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{2}^{x}}=-2\cos (\pi x) \\& \sin (\pi x)=0 \\\end{align} \right.$ \( \Leftrightarrow \begin{cases} {{2}^{x}}=-2\cos (\pi x) \\\left[\begin{array}{l} \cos (\pi x)=1 \\ \cos (\pi x)=-1 \end{array}\right.\end{cases} \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{2}^{x}}=2 \\& \cos (\pi x)=-1 \\\end{align} \right.\Leftrightarrow x=1\)

Vậy $m=-4$ thỏa mãn.