Cho phương trình: 2sin^2x−sinxcosx−cos^2x=m

Cho phương trình: \( 2{{\sin }^{2}}x-\sin x\cos x-{{\cos }^{2}}x=m \)   (*)

a) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm.

b) Giải phương trình khi \( m=-1 \).

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow (1-\cos 2x)-\frac{1}{2}\sin 2x-\frac{1}{2}(1+\cos 2x)=m\Leftrightarrow \sin 2x+3\cos 2x=-2m+1 \)

a) (*) có nghiệm \( \Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge {{c}^{2}} \)

 \( \Leftrightarrow 1+9\ge {{(1-2m)}^{2}}\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-4m-9\le 0\Leftrightarrow \frac{1-\sqrt{10}}{2}\le m\le \frac{1+\sqrt{10}}{2} \).

b) Khi \( m=-1 \) ta được phương trình: \( \sin 2x+3\cos 2x=3 \)  (1)

\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{3}^{2}}}}\sin 2x+\frac{3}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{3}^{2}}}}\cos 2x=\frac{3}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{3}^{2}}}}\)

\(\Leftrightarrow \sin 2x.\cos \alpha +\cos 2x.\sin \alpha =\sin \beta \), với \(\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{10}},\sin \alpha =\frac{3}{\sqrt{10}},\sin \beta =\frac{3}{\sqrt{10}}\)

 \( \Leftrightarrow \sin \left( 2x+\alpha  \right)=\sin \beta \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & 2x+\alpha =\beta +k2\pi  \\ & 2x+\alpha =\pi -\beta +k2\pi  \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=\frac{-\alpha +\beta }{2}+k\pi  \\  & x=\frac{\pi -\alpha -\beta }{2}+k\pi  \\ \end{align} \right.,k\in \mathbb{Z} \), với \(\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{10}},\sin \alpha =\frac{3}{\sqrt{10}},\sin \beta =\frac{3}{\sqrt{10}}\).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *