Cho phương trình: (1−a)tan^2x−2cosx+1+3a=0

Cho phương trình: \( (1-a){{\tan }^{2}}x-\frac{2}{\cos x}+1+3a=0 \) (*)

a) Giải (*) khi \( a=\frac{1}{2} \).

b) Tìm a để (1) có nhiều hơn một nghiệm trên \( \left( 0;\frac{\pi }{2} \right) \).

Hướng dẫn giải:

Điều kiện:  \( \cos x\ne 0\Leftrightarrow x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \) .

(*) \( \Leftrightarrow (1-a){{\sin }^{2}}x-2\cos x+(1+3a){{\cos }^{2}}x=0 \)

 \( \Leftrightarrow (1-a)(1-{{\cos }^{2}}x)-2\cos x+(1+3a){{\cos }^{2}}x=0 \)

 \( \Leftrightarrow 4a{{\cos }^{2}}x-2\cos x+1-a=0\Leftrightarrow a(4{{\cos }^{2}}x-1)-(2\cos x-1)=0 \)

 \( \Leftrightarrow (2\cos x-1)[a(2\cos x+1)-1]=0 \).

a) Khi \( a=\frac{1}{2} \) thì (*) thành: \( \Leftrightarrow (2\cos x-1)\left( \cos x-\frac{1}{2} \right)=0 \)

 \( \Leftrightarrow \cos x=\frac{1}{2}=\cos \frac{\pi }{3} \) (nhận do  \( \cos x\ne 0 \))

 \( \Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

b) Khi \( x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right) \) thì \( \cos x=t\in (0;1) \).

Ta có:  \( (1)\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \cos x=t=\frac{1}{2}\in (0;1) \\ & 2a\cos x=1-a\begin{matrix}  {} & (**)  \\\end{matrix} \\ \end{align} \right. \).

Yêu cầu bài toán  \( \Leftrightarrow (**) \) có nghiệm trên  \( (0;1)\backslash \left\{ \frac{1}{2} \right\}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a\ne 0 \\ & 0<\frac{1-a}{2a}<1 \\  & \frac{1-a}{2a}\ne \frac{1}{2} \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a\ne 0 \\  & \frac{1-a}{2a}>0 \\  & \frac{1-3a}{2a}<0 \\  & 2(1-a)\ne 2a \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 0<a<1 \\  & a<0\vee a>\frac{1}{3} \\  & a\ne \frac{1}{2} \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \frac{1}{3}<a<1 \\ & a\ne \frac{1}{2} \\ \end{align} \right. \).

Cách khác: Đặt  \( u=\frac{1}{\cos x} \), điều kiện  \( u\ge 1 \), phương trình thành:

 \( (1-a)({{u}^{2}}-1)-2u+1+3a=0\Leftrightarrow (1-a){{u}^{2}}-2u+4a=0 \)

 \( \Leftrightarrow (u-2)[(1-a)u-2a]=0 \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *