Cho (O; R) đường kính AB cố định. Dây CD di động vuông góc với AB tại điểm H nằm giữa hai điểm A và O. Lấy điểm F thuộc cung AC nhỏ; BF cắt CD tại E; AF cắt tia CD tại I

Hướng dẫn giải:

a) Chứng minh rằng tứ giác AHEF là tứ giác nội tiếp.

Xét (O): \(\widehat{AFB}={{90}^{O}}\) (giá trị nguyên chắn nửa đường tròn)

Mà  \( \widehat{AHE}={{90}^{O}} \) (CD  \( \bot  \) AB tại H)  \( \Rightarrow \widehat{AFE}+\widehat{AHE}={{180}^{O}} \)

Xét tứ giác AHEF:

 \( \widehat{AFE}+\widehat{AHE}={{180}^{O}} \) (cmt)

Mà  \( \widehat{AFE} \) và  \( \widehat{AHE} \) là hai góc đối nhau

Suy ra tứ giác AHEF là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh rằng HA.HB = HE.HI

Chứng minh  \( \widehat{AIH}=\widehat{HBE} \) (cùng phụ  \( \widehat{BAI} \))

Xét  \( \Delta HBE  \) và  \( \Delta HIA  \):

 \( \widehat{AHI}=\widehat{EHB}={{90}^{O}} \)

 \( \Rightarrow \Delta HBE\backsim \Delta HIA  \) (g-g)

 \( \Rightarrow \frac{HB}{HI}=\frac{HE}{HA} \)  \( \Rightarrow HA.HB=HE.HI  \) (đpcm)

c) Đường tròn ngoại tiếp \( \Delta IEF \) cắt AE tại điểm thứ hai M. Chứng minh: M thuộc (O; R).

Gọi (O’) là đường tròn ngoại tiếp  \( \Delta IEF  \). Vì  \( \Delta IEF  \) vuông tại F nên O’ là trung điểm IE.

Xét (O’): \(\widehat{FIE}=\widehat{FME}\) (2 góc nội tiếp chắn cung \(\overset\frown{FE}\))

Mà  \( \widehat{FIE}=\widehat{ABF} \) (cmt)

 \( \Rightarrow \widehat{FMA}=\widehat{FBA}\left( =\widehat{FME} \right) \)

Xét tứ giác AFMB, ta có:

 \( \widehat{FMA}=\widehat{FBA} \) (cmt)

Mà M và B là hai đỉnh kề nhau

 \( \Rightarrow  \)Tứ giác AFMB là tứ giác nội tiếp

 \( \Rightarrow  \) A, F, M, B cùng thuộc một đường tròn. Mà A, F, B thuộc (O) nên  \( M\in \left( O \right) \)

d) Tìm vị trí của H trên OA để \( \Delta OHD \) có chu vi lớn nhất.

Ta có: Chu vi  \( {{C}_{\Delta OHD}}=OH+OD+HD=\left( OH+HD \right)+R  \)

 \( {{\left( OH+HD \right)}^{2}}=O{{H}^{2}}+H{{D}^{2}}+2OH.HD={{R}^{2}}+2OH.HD  \)

Ta có:  \( O{{H}^{2}}+H{{D}^{2}}\overset{\text{Cosi}}{\mathop{\ge }}\,2\sqrt{O{{H}^{2}}.H{{D}^{2}}}=2OH.HD  \)

 \( \Leftrightarrow 2OH.HD\le {{R}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( OH+HD \right)}^{2}}\le 2{{R}^{2}} \) \( \Leftrightarrow OH+HD\le R\sqrt{2} \)

Chu vi:  \( {{C}_{\Delta OHD}}\le R\sqrt{2}+R  \) \( \Rightarrow {{\left( {{C}_{\Delta OHD}} \right)}_{\max }}=R\sqrt{2}+R\Leftrightarrow OH=OD \)

 \( \Leftrightarrow \Delta OHD  \)vuông cân tại H  \( \Leftrightarrow  \)H thuộc OA thỏa mãn  \( OH=\frac{\sqrt{2}}{2}R  \)