Cho nửa đường tròn (O; R), đường kính AB. Trên nửa đường tròn đó lấy điểm C (CA < CB). Hạ CH vuông góc với AB tại H. Đường tròn đường kính CH cắt AC và BC theo thứ tự tại M, N.
a) Chứng minh tứ giác HMCN là hình chữ nhật.
b) Chứng minh tứ giác AMNB nội tiếp.
c) Tia NM cắt tia BA tại K, lấy điểm Q đối xứng với H qua K. Chứng minh QC là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).
d) Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMNB trong trường hợp AC = R
Hướng dẫn giải:
a) Chứng minh tứ giác HMCN là hình chữ nhật.
\( \widehat{CMH}=\widehat{CNH}=\widehat{MCN}={{90}^{O}} \)
Vậy tứ giác HMCN là hình chữ nhật.
b) Chứng minh tứ giác AMNB nội tiếp.
Xét \( \Delta CAH \) vuông tại H, đường cao HM.
\( \Rightarrow CM.CA=C{{H}^{2}} \) (hệ thức lượng trong tam giác vuông) (1)
Tương tự ta có: \( CN.CB=C{{H}^{2}} \) (2)
Từ (1) và (2), ta có: \( CM.CA=CN.CB\Rightarrow \frac{CM}{CB}=\frac{CN}{CA} \)
Chứng minh \( \Delta CMN\backsim \Delta CBA \) (c – g – c)
\( \Rightarrow \widehat{CMN}=\widehat{CBA} \) (Hai góc tương ứng)
\( \Rightarrow \widehat{AMN}+\widehat{CBA}={{180}^{O}} \)
Xét tứ giác AMNB, ta có:
\( \widehat{AMN}+\widehat{CBA}={{180}^{O}} \)
\( \Rightarrow \) Tứ giác AMNB nội tiếp (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
c) Tia NM cắt tia BA tại K, lấy điểm Q đối xứng với H qua K. Chứng minh QC là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).
Gọi giao điểm của MN và OC là E, giao điểm của CH và MN là I
\( \widehat{OCM}+\widehat{CME}=\widehat{OAC}+\widehat{CBA}={{90}^{O}} \)
\( \Rightarrow \widehat{CEM}={{90}^{O}}\Rightarrow OC\bot MN \)
Ta đi chứng minh MN // QC
Vì tứ giác CMHN là hình chữ nhật
\( \Rightarrow \)I là trung điểm cùa CH
Xét tam giác QHC:
I là trung điểm CH
K là trung điểm của QH
\( \Rightarrow \) KI là đường trung bình của tam giác CHQ
\( \Rightarrow \) MN // QC
Ta có: MN // QC và OC \( \bot \) MN
\( \Rightarrow \) QC \( \bot \) OC
Hay QC là tiếp tuyến của (O)
d) Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMNB trong trường hợp AC = R.
Gọi O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMNB
Ta có: OO’ là đường trung trực của đoạn AB nên OO’ \( \bot \) AB
Mà CI \( \bot \) AB nên CI // OO’
Chứng minh tương tự, ta có: OC // IO’
\( \Rightarrow \)CIO’O là hình bình hành.
Suy ra OO’ = CI
\(BC=R\sqrt{3}\)
\(AC.BC=CH.AB\Rightarrow R.R\sqrt{3}=CH.2R\)
\(CH=\frac{R\sqrt{3}}{2}\Rightarrow CI=\frac{R\sqrt{3}}{4}\)
Xét tam giác OBO’ vuông tại O
\( O’B=\sqrt{\frac{3{{R}^{2}}}{16}+{{R}^{2}}}=\frac{R\sqrt{19}}{4} \)
Các bài toán liên quan
Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Từ một điểm M ở ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Qua A, kẻ đường thẳng song song với MO cắt đường tròn tại E (E khác A), đường thẳng ME cắt đường tròn tại F (F khác E), đường thẳng AF cắt MO tại N, H là giao điểm của MO và AB
Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B và C là các tiếp điểm). Đường thẳng CO cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D; đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E; đường thẳng BE cắt AO tại F; H là giao điểm của AO và BC
Bài toán mới!
Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Từ một điểm M ở ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Qua A, kẻ đường thẳng song song với MO cắt đường tròn tại E (E khác A), đường thẳng ME cắt đường tròn tại F (F khác E), đường thẳng AF cắt MO tại N, H là giao điểm của MO và AB
Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B và C là các tiếp điểm). Đường thẳng CO cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D; đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E; đường thẳng BE cắt AO tại F; H là giao điểm của AO và BC
Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!
Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!
- Với đội ngũ gia sư dạy kèm gồm giáo viên và sinh viên ở các trường uy tín nhất, chúng tôi nhận dạy kèm tại nhà và dạy kèm online 1 kèm 1.
- Nhận dạy kèm môn phổ thông: Toán học, Vật lý, Hóa học, Tiếng Anh, Sinh học, Văn học, … các lớp 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, LTDH và các môn ĐH–CĐ: Toán cao cấp, Xác suất thống kê...
- Nhận dạy kèm Tiếng Anh (Giao tiếp, TOEIC, TOEFL, IELTS, ...) - Tiếng Hoa - Tiếng Hàn - Tiếng Nhật (Giao tiếp, chứng chỉ N5, N4, N3, N2, N1), Tin Học (Văn phòng, Đồ họa, Lập trình,...) cho các học viên ở mọi lứa tuổi.
- Nhận dạy kèm các môn năng khiếu: Cờ Vua, Cờ Tướng, Đàn Ghitar, Đàn Dương Cầm,…
- Đ/C Trung Tâm: Số 103/6, Hẻm 528TC, Đường Trường Chinh, Kp. 7, P. Tân Hưng Thuận, Quận 12, Tp. HCM
- Hotline: 094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)
No comment yet, add your voice below!