cho mặt phẳng (P):z+2=0, K(0;0;-2), đường thẳng d:x/1=y/1=z/1. Phương trình mặt cầu tâm thuộc đường thẳng d và cắt mặt phẳng (P) theo thiết diện là đường tròn tâm K, bán kính r=√5 là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \( (P):z+2=0 \), K(0;0;-2), đường thẳng  \( d:\frac{x}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{1} \). Phương trình mặt cầu tâm thuộc đường thẳng d và cắt mặt phẳng (P) theo thiết diện là đường tròn tâm K, bán kính  \( r=\sqrt{5} \) là:

A. \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=16 \)

B. \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=16 \)

C. \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=9 \)

D. \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=9 \)

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến  \( \vec{n}=(0;0;1) \).

Viết lại phương trình của đường thẳng d dưới dạng tham số:  \( \left\{ \begin{align}  & x=t \\  & y=t \\  & z=t \\ \end{align} \right. \).

Gọi I là tâm của mặt cầu cần lập. Vì  \( I\in d  \) nên giả sử I(t;t;t).

Có  \( \overrightarrow{IK}=(-t;-t;-2-t) \).

Thiết diện của mặt cầu và mặt phẳng (P) là đường tròn tâm K nên ta có  \( IK\bot (P) \).

Suy ra  \( \overrightarrow{IK} \) và  \( \vec{n}=(0;0;1) \) cùng phương. Do đó tồn tại số thực k để  \( \overrightarrow{IK}=k\vec{n}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & -t=k.0 \\  & -t=k.0 \\  & -2-t=k.1 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & t=0 \\  & k=-2 \\ \end{align} \right. \).

Suy ra I(0;0;0). Tính được  \( d\left( I,(P) \right)=2 \).

Gọi R là bán kính mặt cầu. Ta có:  \( R=\sqrt{{{r}^{2}}+{{\left[ d\left( I,(P) \right) \right]}^{2}}}=3 \).

Vậy mặt cầu cần tìm có phương trình:  \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=9 \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Fanpage Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Nhân Tài Việt

Fanpage Trung Tâm Gia Sư Dạy Kèm Nhân Tài Việt

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *