cho mặt phẳng (P):x−y+2=0 và hai điểm A(1;2;3), B(1;0;1). Điểm C(a;b;−2)∈(P) sao cho tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất. Tính a+b

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Ta có:  \( C(a;b;-2)\in (P)\Rightarrow a-b+2=0\Rightarrow b=a+2\Rightarrow C(a;a+2;-2) \).

 \( \overrightarrow{AB}=(0;-2;-2),\overrightarrow{AC}=(a-1;a;-5)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=(10+2a;-2a+2;2a-2) \).

 \( {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right] \right|=\frac{\sqrt{{{(2a+10)}^{2}}+2{{(2a-2)}^{2}}}}{2}=\frac{\sqrt{12{{a}^{2}}+24a+108}}{2} \)

 \( =\sqrt{3({{a}^{2}}+2a+9)}=\sqrt{3{{(a+1)}^{2}}+24}\ge 2\sqrt{6},\text{ }\forall a  \).

Do đó  \( \min {{S}_{\Delta ABC}}=2\sqrt{6} \) khi  \( a=-1 \). Khi đó, ta có  \( C(-1;1;-2)\Rightarrow a+b=0 \)