cho mặt cầu (S):(x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=27. Gọi (α) là mặt phẳng đi qua 2 điểm A(0;0;-4), B(2;0;0) và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) sao cho khối nón có đỉnh là tâm của (S), là hình tròn (C) có thể tích lớn nhất

Hướng dẫn giải:

Chọn D

+ Vì  \( (\alpha ) \) qua A, ta có:  \( -(-4)+c=0\Rightarrow c=-4 \).

+ Vì  \( (\alpha ) \) qua B, ta có:  \( 2a+c=0\Rightarrow a=2 \).

 \( \Rightarrow (\alpha ):2x+by-z-4=0 \).

+ Mặt cầu (S) có tâm I(1;-2;3), bán kính  \( R=3\sqrt{3} \).

+ Chiều cao khối nón:  \( h=d\left( I,(\alpha ) \right)=\frac{\left| 2-2b-3-4 \right|}{\sqrt{4+{{b}^{2}}+1}}=\frac{\left| 2b+5 \right|}{\sqrt{{{b}^{2}}+5}} \).

+ Bán kính đường tròn:  \( r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{h}^{2}}}=\sqrt{27-{{\left( \frac{\left| 2b+5 \right|}{\sqrt{{{b}^{2}}+5}} \right)}^{2}}}=\sqrt{27-\frac{{{(2b+5)}^{2}}}{{{b}^{2}}+5}} \).

+ Thể tích khối nón:  \( V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}=\frac{1}{3}\pi \left( 27-\frac{{{(2b+5)}^{2}}}{{{b}^{2}}+5} \right).\frac{\left| 2b+5 \right|}{\sqrt{{{b}^{2}}+5}} \).

+ Tới đây ta có thể thử các trường hợp đáp án.

Hoặc ta làm tự như sau:

Đặt  \( t=\frac{\left| 2b+5 \right|}{\sqrt{{{b}^{2}}+5}} \) và xét hàm số  \( f(t)=(27-{{t}^{2}})t  \) trên đoạn  \( \left[ 0;3\sqrt{3} \right] \).

Ta có:  \( {f}'(t)=27-3{{t}^{2}};\text{ }{f}'(t)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=3 \\  & t=-3\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \).

Ta có bảng biến thiên:

Do đó, thể tích khối nón lớn nhất khi và chỉ khi:

 \( t=3\Leftrightarrow {{\left( \frac{\left| 2b+5 \right|}{\sqrt{{{b}^{2}}+5}} \right)}^{2}}={{3}^{2}}\Leftrightarrow 4{{b}^{2}}+20b+25=9{{b}^{2}}+45 \)

 \( \Leftrightarrow 5{{b}^{2}}-20b+20=0\Leftrightarrow b=2 \).

Vậy  \( a-b+c=-4 \).