Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \( (S):{{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}=9 \), mặt phẳng \( (P):x-y+z+3=0 \) và điểm N(1;0;-4) thuộc (P). Một đường thẳng \( \Delta \) đi qua N nằm trong (P) cắt (S) tại hai điểm A, B thỏa mãn \( AB=4 \). Gọi \( \vec{u}=(1;b;c),\text{ }(c>0) \) là một vectơ chỉ phương của \( \Delta \), tổng \( b+c \) bằng
A. 1
B. 3
C. -1
D. 45
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Ta có mặt cầu (S) có tâm I(1;2;1), bán kính \( R=3 \).
Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng \( \Delta \) và mặt phẳng (P).
Suy ra H là trung điểm của đoạn AB nên:
\( AH=2\Rightarrow d\left( I,\Delta \right)=IH=\sqrt{I{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{5} \) và \( IK=d\left( I,(P) \right)=\frac{\left| 1-2+1+3 \right|}{\sqrt{3}}=\sqrt{3} \).
Ta có: \( \left\{ \begin{align} & IK\bot (P) \\ & \Delta \subset (P) \\ \end{align} \right.\Rightarrow IK\bot \Delta \) mà \( IH\bot \Delta \Rightarrow \Delta \bot KH \)
hay \( KH=d\left( K,\Delta \right) \) và \( KH=\sqrt{I{{H}^{2}}-I{{K}^{2}}}=\sqrt{2} \).
Do \( IK\bot (P) \) nên phương trình tham số đường thẳng \( IK:\left\{ \begin{align} & x=1+t \\ & y=2-t \\ & z=1+t \\ \end{align} \right.\Rightarrow K(1+t;2-t;1+t) \).
Mà \( K\in (P)\Rightarrow 1+t-2+t+1+t+3=0\Leftrightarrow t=-1\Rightarrow K(0;3;0) \).
Từ đây ta có: \( KH=d\left( K,\Delta \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{KN},\vec{u} \right] \right|}{\left| {\vec{u}} \right|}=\frac{\sqrt{{{(4b-3c)}^{2}}+{{(-c-4)}^{2}}+{{(b+3)}^{2}}}}{\sqrt{1+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\sqrt{2} \) (*).
Mặt khác, ta có: \( \Delta \subset (P)\Rightarrow \vec{u}\bot {{\vec{n}}_{P}}=0\Leftrightarrow 1-b+c=0\Leftrightarrow b=c+1 \).
Thay vào (*) ta được: \( \sqrt{{{(c+4)}^{2}}+{{(-c-4)}^{2}}+{{(c+4)}^{2}}}=\sqrt{2}.\sqrt{1+{{(c+1)}^{2}}+{{c}^{2}}} \)
\( \Leftrightarrow 3{{c}^{2}}-24c+48=4{{c}^{2}}+4c+4\Leftrightarrow {{c}^{2}}-20c-44=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & c=22\text{ }(n) \\ & c=-2\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \).
Suy ra \( b=23\Rightarrow b+c=45 \).
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!